¿Relación entre la cohomología de los espacios de configuración ordenados y desordenados?

Question

Para cualquier colector $M$ el espacio de configuración desordenado de $k$ puntos se obtiene como un cociente del espacio de configuración ordenado de $k$ puntos por la acción del grupo simétrico sobre $k$ cartas. ¿Induce alguna relación entre las álgebras de cohomología de los dos espacios?

Answer 1

Si $F_n(M)$ denota el espacio de configuración ordenado y $C_n(M)$ el espacio de configuración desordenado, el mapa cociente da un mapa $$H^*(C_n(M)) \longrightarrow H^*(F_n(M)).$$ Si uno toma coeficientes racionales, entonces esto induce un isomorfismo $$H^*(C_n(M);\mathbb{Q}) \longrightarrow H^*(F_n(M);\mathbb{Q})^{\Sigma_n}$$ en el subespacio invariante del grupo simétrico.

En característica positiva no creo que haya ninguna relación agradable entre ellos.

Answer 2

Oscar Randal-Williams ya mencionó el isomorfismo de transferencia $H^*(C_n(M);\mathbb{Q}) \approx H^*(F_n(M);\mathbb{Q})^{\Sigma_n}$ . A riesgo de autopromoción, un lugar donde se puede ver esta transferencia en acción es en mi artículo "Homological stability for configuration spaces of manifolds", arXiv:1103.2441 . En ese trabajo utilicé un análisis de $H^*(F_n(M);\mathbb{Q})$ y la acción de $\Sigma_n$ para concluir que la cohomología del espacio de configuración desordenado $C_n(M)$ es finalmente independiente del número de puntos $n$ : $$H^k(C_n(M);\mathbb{Q})\approx H^k(C_{n+1}(M);\mathbb{Q})\text{ for }n\gg k.$$ La idea clave es que podemos relacionar $F_{n+1}(M)$ con $F_n(M)$ incluso cuando no podemos relacionarnos $C_{n+1}(M)$ con $C_n(M)$ directamente, y luego el mapa de transferencia nos permite empujar la información de $F_n(M)$ hasta $C_n(M)$ . El marco básico de este enfoque se explica en la introducción. También hay algunos cálculos explícitos (algunos se remontan a Bödigheimer-Cohen-Taylor) de $H^*(C_n(M);\mathbb{Q})$ para varios colectores $M$ en la sección 4.2 que pueden ser de su interés.

Además, deberías consultar los artículos sobre la cohomología de los espacios de configuración escritos por los otros participantes en esta discusión, Oscar Randal-Williams y Giacomo d'Antonio, que deberían ofrecer una perspectiva algo diferente.

Answer 3

Esta es una ampliación de la respuesta de Oscar. El resultado citado sobre la cohomología con coeficientes racionales es una aplicación del Teorema de la Transferencia:

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, $X$ un colector topológico y $F$ un campo con $\mbox{char}\,F = 0$ o $\mbox{char}\,F \nmid o(G)$ entonces $$H^*(X/G; F) \cong H^*(X;F)^G$$

Hay una buena demostración de este teorema en el libro de Bredon "Introduction to compact transformation groups".

Para el caso de $\mathbb R^k$ se puede calcular la cohomología (con coeficientes complejos) explícitamente. La respuesta depende de la paridad de $k$ . Para impar $k$ , $H^*(F_n(\mathbb{R}^k); \mathbb{C})$ es unidimensional en grado $0$ y trivial en caso contrario, ya que incluso $k$ es unidimensional en grados $0$ y $k-1$ y trivial en caso contrario.