Finalización profinita de un producto semidirecto

Question

Si tenemos dos grupos finitos generados finitamente $G$ y $H$ ¿hay relación entre

las terminaciones profinitas $\hat{G},\hat{H}$ y la terminación profinita de una semidirecta producto $\hat{G \rtimes H}$

(y pregunta análoga para las terminaciones pro-p)

Answer 1

Tomemos un grupo simple finito no abeliano $A$ y considerar el producto de la corona $G=A\wr \mathbb Z$ . Sea $N$ sea cualquier subgrupo de índice finito de $G$ . Entonces $N\cap A^{\mathbb Z}\ne 1$ . Sea $g$ sea un elemento no trivial en la intersección. Supongamos que el $i$ -a coordenada $g_i$ de $g$ no es $1$ . Desde $A$ tiene centro trivial, existe $h\in A$ tal que $[g_i,h]\ne 1$ . Sea $h'$ sea el elemento de $A^{\mathbb Z}$ con $h$ en el $i$ -ésima coordenada y otras coordenadas triviales. Entonces $[g,h']$ está en $N$ y tiene exactamente una coordenada no trivial (número $i$ ). Utilizando el hecho de que $A$ es simple y la acción de ${\mathbb Z}$ en $A^{\mathbb Z}$ , obtenemos que $N$ contiene $A^{\mathbb Z}$ . Por lo tanto, la terminación profinita (pro-p) de $G$ es la misma que la terminación profinita de $\mathbb Z$ . Por supuesto $G$ es un producto semidirecto de $A^{\mathbb Z}$ y $\mathbb Z$ , ambos residualmente finitos.

Si $G, H$ son generados finitamente, entonces $P=\hat G\rtimes \hat H=\hat{G\rtimes H}$ . De hecho, es fácil ver que la terminación profinita de $G$ sur $P$ est $\hat G$ . Esto se debe a que para cada subgrupo de índice finito $N$ de $G$ existe un subgrupo de índice finito $K$ sur $G\rtimes H$ tal que $K\cap G < N$ .

Answer 2

Me he convencido de que la segunda afirmación de Mark es cierta. He aquí un argumento detallado. Empecemos por comprobar si $\widehat{G} \rtimes \widehat{H}$ existe realmente. Suponemos que ambos $G$ y $H$ son está generada finitamente. Sea $\varphi:H \to \textrm{Aut}(G)$ sea el mapa que define el producto semidirecto.

Primero tenemos que comprobar que $\varphi$ puede ampliarse a $\textrm{Aut}(\widehat{G})$ . Como $G$ es de generación finita, tiene un número finito de subgrupos de índice $n$ , dejemos que $G_n$ ser su interés. Entonces $G_n$ es un subgrupo característico de índice finito en $G$ . Además, todo subgrupo de índice finito en $G$ contiene uno de los $G_n$ 's. Así, $\widehat{G}$ es el límite inverso de $G/G_n$ . Ahora bien, todo autmorfismo de $G$ conserva $G_n$ Por lo tanto, $\textrm{Aut}(G)$ está integrado en $\textrm{Aut}(\widehat{G})$ . Concluimos que $\varphi$ puede ampliarse a $\textrm{Aut}(\widehat{G})$ .

Ahora tenemos que recordar la topología en $\textrm{Aut}(\widehat{G})$ . Los barrios abiertos de la identidad se definen como $A(G_n)$ el núcleo del mapa de $\textrm{Aut}(\widehat{G})$ a $\textrm{Aut}(G/G_n)$ . Para ampliar $\varphi$ a $\widehat{H}$ necesitamos $\varphi$ sea continua en la topología profinita de $H$ . Por lo tanto, necesitamos que $H_n$ el núcleo del mapa de $H$ a $\textrm{Aut}(G/G_n)$ sea de índice finito. Si $H$ es de generación finita, t Este es el caso, ya que $\textrm{Aut}(G/G_n)$ es un grupo finito. Así que $\varphi$ puede ampliarse.

Esto significa que podemos definir $\widehat{G} \rtimes \widehat{H}$ . Además, a partir del argumento anterior $\varphi$ es continua en $\widehat{H}$ Así que $\widehat{G} \rtimes \widehat{H}$ es un grupo profinito. Observamos que $\widehat{G} \rtimes \widehat{H}$ es el límite inverso de $(G \rtimes H)/(G_n \rtimes N)$ , donde $n \in \mathbb{N}$ y $N$ es un subgrupo normal de índice finito en $H$ .

Siempre tenemos un mapa desde la compleción profinita de un grupo hacia cualquier compleción profinita con respecto a algunos subgrupos de índice finito. Así que obtenemos $\psi$ de $\widehat{G \rtimes H}$ en $\widehat{G} \rtimes \widehat{H}$ . Ahora, supongamos que $K$ es un subgrupo de índice finito en $G \rtimes H$ . Veamos $K \cap G$ es un subgrupo de índice finito en $G$ . Por lo tanto, contiene algunos $G_n$ . También, $K \cap H$ es de índice finito en $H$ . Ahora, $G_n \rtimes (K \cap H)$ es un subgrupo, es de índice finito en $G \rtimes H$ y está contenida en $K$ . Deducimos que $\psi$ es un isomorfismo.

Editar : No creo que sea necesario para $H$ para ser generado finitamente así que arreglé el argumento.

Answer 3

Dejemos que $\mathscr{P}$ sea cualquier propiedad tal que siempre que un grupo tenga $\mathscr{P}$ entonces todos sus subgrupos también tienen $\mathscr{P}$ . En [1] Teorema 3.1, K. W. Gruenberg ha demostrado que si el producto corona $W= A \wr B$ , es residualmente $\mathscr{P}$ , entonces $B$ est $\mathscr{P}$ o $A$ es abeliana.

Considere $W= S_3 \wr \mathbb{Z}$ , donde $S_3$ es el grupo simétrico de grado 3. Como $S_3$ no es abeliana, $\mathbb{Z}$ no es finito, y el subgrupo de cualquier grupo finito es finito, el grupo $W$ no es RF.

Claramente, $W= \prod_{i \in \mathbb{Z}} S_3 \rtimes \mathbb{Z}$ , donde $\mathbb{Z}$ y $\prod_{i \in \mathbb{Z}} S_3$ son residualmente finitos.

[1] K. W. Gruenberg, Residual properties of infinite soluble groups}, Prec. London Math. Soc., Ser. 3, 7 (1957), 29--62.