Una vez probada la periodicidad de Bott, todavía hay que calcular los valores estables. Para el grupo unitario $U$, esto es fácil ya que puede salirse con la suya con solo $\pi_0$ y $\pi_1$. Sin embargo, tengo problemas para hacer esto por el grupo ortogonal. Es fácil averiguar $\pi_i(O)$ para, por ejemplo, $0 \leq i \leq 2$, pero ya para $i=3$ se necesita algo de trabajo. ¿Puede alguien darme una referencia o una prueba para el cálculo de $\pi_i(O)$ para $0 \leq i \leq 7$?
Respuesta
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El resultado de Bott se formula mejor diciendo que la secuencia de espacios $$ \mathbb Z\times BO,\quad O,\quad O/U,\quad U/Sp,\quad \mathbb Z\times BSp,\quad Sp,\quad Sp/U,\quad U/O $$ están relacionados por la propiedad de que cada uno es el espacio de bucle del anterior (mod 8).
A partir de eso, obtienes, por ejemplo, ese $\pi_4(O)=\pi_3(O/U)=\pi_2(U/Sp)=\pi_1(Z\times BSp)=\pi_0(Sp)=0$.
