Resuelve este límite$\lim\limits_{x\to 1}\left(\dfrac{2017}{1-x^{2017}} -\dfrac{2018}{1-x^{2018}}\right)$

Question

\begin{align} \lim\limits_{x\to 1}\left(\dfrac{2017}{1-x^{2017}} -\dfrac{2018}{1-x^{2018}}\right) &= \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2017(x^{2017} + \dots + 1) - 2018(x^{2016} + \dots + 1)}{(1-x)(x^{2016} + \dots +1)(x^{2017} + \dots +1)}\\\\ &= \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2017x^{2017} - x^{2016} - \dots - 1}{(1-x)(x^{2016} + \dots +1)(x^{2017} + \dots +1)} \end{align}

¿Hice lo correcto con los pasos anteriores?

Creo que el siguiente paso es separar: $2017x^{2017} = \underbrace{x^{2017} + \dots + x^{2017}}_{\text{2017 addends}}$

Luego combina con el resto y factoriza $(1-x)$ , pero tiene un poco de confusión después de factorizar.

¿¡¡Por favor, ayúdame!!?

Answer 1

El teorema del binomio da otra forma. Deje $x=1+\varepsilon$ con $0<|\varepsilon|\ll1$ . Entonces $$x^n=1+n\varepsilon+\tfrac12n(n-1)\varepsilon^2+O(\varepsilon^3),\quad x^{n+1}=1+(n+1)\varepsilon+\tfrac12(n+1)n\varepsilon^2+O(\varepsilon^3).$ $ Por lo tanto PS PS Por lo tanto, el límite como $$\frac n{1-x^n}-\frac{n+1}{1-x^{n+1}}=\frac1\varepsilon\left(\frac{-1}{1+\tfrac12(n-1)\varepsilon+O(\varepsilon^2)}-\frac{-1}{1+\tfrac12n\varepsilon+O(\varepsilon^2)}\right)$ es $$=-\frac1\varepsilon\frac{\tfrac12\varepsilon+O(\varepsilon^2)}{1+n\varepsilon+O(\varepsilon^2)}=-\frac{\tfrac12+O(\varepsilon)}{1+O(\varepsilon)}.$ .