Supongamos que tenemos un grupo abeliano sin torsion y sin torsion $A$ con la propiedad que para cada elemento $a\neq 0$ el conjunto $D_a={x\in A|\exists n\in \mathbb{Z}:nx=a}$ es finito. ¿$A$ ya es un grupo abeliano libre?
Si uno deja caer la condición "countable" el producto directo infinito de contar muchas copias de $\mathbb{Z}$ es un contraexample.
No, hay grupos abelianos no libres de rango 2 (es decir, subgrupos de $\mathbb Q^2$) en el que cada subgrupo del rango 1 es libre. (Supongo que tenías la intención de $a\neq 0$ en la pregunta; de lo contrario, el único grupo de este tipo sería el grupo cero.) De hecho, tal grupo de rango 2 puede estar tan lejos de ser libre que su cociente por cualquier subgrupo de rango 1 puro es divisible. Ese resultado se debe a L. Fuchs y F. Loonstra en "Sobre la cancelación de módulos en sumas directas sobre dominios Dedekind" (Indag. Matemáticas. 33 (1971) 163-169).
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