¿Cuál es el valor de $c$ tal que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(n-k)c+\log(n!)-\log(k!)}=1?$$ Numéricamente, parece que la respuesta es $c=\log 2$ . Pero me gustaría ver una razón para ello.
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user17915
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Creo, que $c=\gamma=0.57721..$ (Euler-Mascheroni), porque $$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(n-k) c + \ln \Gamma(n+1)-\ln \Gamma(k+1)} = \\ \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{\ln(\frac{ e^{m c}\ \Gamma(n+1)}{\Gamma(n-m+1)})} \sim \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{m \ \ln (e^{c}\ n)} = \\ \frac{1}{\ln (e^{c}\ n)} H_{n-1} \sim \frac{1}{\ln (e^{c}\ n)} (\ln n +\gamma) $$ donde en la segunda línea he cambiado la variable de suma por $m=n-k$ y se utiliza $$ \frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x+b)}\sim x^{a-b} $$ para grandes $x$ . $H_n$ es el $n$ -número armónico y su expansión asintótica para grandes $n$ es $$ H_{n}\sim \ln n +\gamma +O(n^{-1}). $$ Todas las expansiones/definiciones pueden encontrarse en Wikipedia o en https://dlmf.nist.gov/
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Hola, bienvenido a MO. Parece interesante, pero si pudieras darnos más detalles sobre cómo llegaste a esta expresión, tal vez ayudaría a la gente de aquí a responder a tu pregunta. Está claro que no surgió de la nada.