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Conjetura de Baum Connes y teorema del índice de Atiyah-Singer

La conjetura de Baum Connes se considera una generalización lejana del teorema del índice de Atiyah Singer (en formulación K-teórica). Me gustaría entender cómo se deduce este último de la conjetura. Mi conjetura es que se puede considerar grupo trivial $G$ pero no sé cómo proceder.

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Gracias, estas notas son bastante útiles sin embargo no había encontrado respuesta a mi pregunta.

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Sé muy poco sobre los orígenes de la conjetura BC, y aún menos sobre la demostración del teorema del índice de AS, pero me da la impresión, por las notas de Schick, de que BC no da una demostración de AS -- más bien, indica cómo podríamos basarnos en AS una vez que lo conozcamos, para obtener versiones más generales. Por favor, ten en cuenta que mi frase anterior podría estar equivocada! deberíamos esperar a que alguien que sepa más de estas cosas deje un comentario o una respuesta.

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Richard Morgan Puntos 4048

Me resulta abrumadoramente difícil hacer justicia a esta cuestión. Así que en su lugar doy una respuesta muy condensada y remito a Connes NCG, Sección II.10 para más detalles (así como toda la literatura que ha aparecido entretanto en relación con el enfoque grupoide de la teoría de índices).

En mi opinión, una buena manera de entender cómo BC es una amplia generalización de la teoría de índices de Atiyah-Singer, es estudiar la conjetura en su forma más general, tal y como se plantea para los grupoides de Lie (es decir, grupoides con una estructura lisa).

Connes da una prueba muy hábil de AS usando un grupoide de deformación (llamado el grupoide tangente). Mucho de lo que sigue necesita ser "desempaquetado" y estudiado más a fondo para ser útil. Seguramente he pasado por alto algunas sutilezas. Intentaré recapitular brevemente la idea de Connes: Sea $M$ sea una variedad compacta sin límites.

Preparativos:

La primera idea es que el índice de Fredholm de un (pseudo)operador diferencial puede reescribirse en términos del grupoide tangente: $G_M^t = M \times M \times (0,1] \cup TM \times \{0\}$ . La intuición de este objeto es pegar el groupoide en el que vive nuestro operador, a saber, el groupoide par $M \times M$ al haz tangente $TM$ donde vive su símbolo principal (visto como un haz de grupos aditivos $(T_x M, +)$ y, por tanto, un grupoide). Las unidades de este grupoide son $M \times [0,1]$ . Existen varias interpretaciones sobre cómo obtener una estructura lisa natural en $G_M^t$ en la que no entraré. Una forma de verlo es que $TM$ puede verse como el haz normal a la incrustación de la diagonal $\Delta_M$ en $M \times M$ y se puede transportar una estructura suave utilizando el teorema de vecindad tubular (a través del mapeo exponencial).

Considere $C^{\ast}$ -del grupoide y, en particular, la evaluación en $t = 0$ como $e_0 \colon C^{\ast}(G_M^t) \to C^{\ast}(TM)$ y en $t = 1$ como $e_1 \colon C^{\ast}(G_M^t) \to C^{\ast}(M \times M)$ . Entonces no es difícil demostrar que en $K$ -teoría $(e_0)_{\ast} \colon K(C^{\ast}(G_M^t) \to K(C^{\ast}(TM))$ produce un isomorfismo (el núcleo de $e_0$ es la contractible $C^{\ast}$ -álgebra $C^{\ast}(M \times M) \otimes C(0,1]$ ).

Tenga en cuenta que $C^{\ast}(TM) \cong C_0(T^{\ast} M)$ mediante la transformada de Fourier y $C^{\ast}(M \times M) \cong \mathcal{K}$ son los operadores compactos sobre $L^2(M)$ .

Ya está: $ind_a := (e_1)_{\ast} \colon (e_0)_{\ast}^{-1} \colon K^0(T^{\ast} M) \to K(\mathcal{K}) \cong \mathbb{Z}$ .

Que $ind_a$ es de hecho igual al índice de Fredholm se sigue rápidamente por un dispositivo estándar de $C^{\ast}$ -álgebra $K$ -(secuencia exacta de seis términos).

La segunda idea es un isomorfismo de Thom generalizado de los grupoides que transfiere el cálculo del índice a un grupoide que es Morita equivalente a un espacio. Aquí se necesita la incrustación de $M$ en $\mathbb{R}^N$ .

Conexión con Baum-Connes

La conjetura de Baum-Connes para un grupoide de Lie $G$ afirma que la cartografía de la asamblea $\mu \colon K_0(G) \to K_0(C^{\ast}(G))$ es un isomorfismo. Más concretamente, lo que quiero considerar aquí es el geométrico cartografía de ensamblaje para groupoides de Lie. Esto significa que el mapa $\mu_{G}^{geo} \colon K_0^{geo}(G) \to K_0(C^{\ast}(G))$ . La definición precisa de $K_0^{geo}(G)$ así como $\mu_{G}^{geo}$ en NCG. Aquí me centro sobre todo en cómo se especializan para la groupoide tangente definido anteriormente.

La conexión con BC se hace evidente al examinar de cerca la prueba de Atiyah-Singer utilizando el grupoide tangente.

Pasos

Insertar $M$ en $\mathbb{R}^N$ y asumir que $N$ es incluso .

1) En general $\mu_G^{geo}$ se construye utilizando un $G$ -espacio (para $G$ ), así como un mapa shriek especialmente construido (que utiliza un groupoide de deformación asociado al ancla de la acción de $G$ en su espacio universal). Consideremos $G = G_M^t$ el grupoide tangente de arriba. Entonces $\mu_{G_M^t}$ viene dado simplemente por el mapa de chillidos de una acción particular de $G_M^t$ en $Z = M \times [0,1] \times \mathbb{R}^N$ . En otras palabras - después de escarbar un poco en las definiciones de NCG - obtenemos el homomorfismo bien definido $\mu_{G_M^t} \colon K(C^{\ast}(Z \rtimes G_M^t)) \to K(C^{\ast}(G_M^t))$ .

Definición del espacio $Z \rtimes G_M^t$ necesita más análisis: En realidad es el espacio orbital de la acción del grupoide $G_M^t$ en $Z$ que se obtiene con la ayuda de un homomorfismo $h \colon (G_M^t, \cdot) \to (\mathbb{R}^N, +)$ definida con la ayuda de la incrustación $j$ de $M$ en $\mathbb{R}^N$ :

$h(x,y,t) = \frac{j(x) - j(y)}{t}$ si $t > 0$ y $h(x,v) = dj(v)$ , $v \in T_x M$ si $t= 0$ .

2) Observación clave: El mapa $\mu_{G_M^t}$ es el isomorfismo inverso de Connes-Thom, es decir, el (¡inverso!) del isomorfismo equivariante de Thom: $\mathcal{CT} \colon K(C^{\ast}(G_M^t)) \to K(C^{\ast}(Z \rtimes G_M^t))$ .

Para este último isomorfismo se observa que $C^{\ast}(Z \rtimes G_M^t) \cong C^{\ast}(G_M^t) \rtimes \mathbb{R}^N$ . Aquí $\mathbb{R}^N$ actúa sobre $C^{\ast}(G_M^t)$ vía $\alpha_v(f)(\gamma) = e^{i (v \cdot h(\gamma))} f(\gamma), f \in C_c(G_M^t)$ . Usando ese $N$ es par aplicamos la periodicidad de Bott para llegar al isomorfismo $\mathcal{CT}$ .

3) El isomorfismo Connes-Thom no es más que el mapa geométrico inverso de ensamblaje. He omitido la prueba de esto (implica otra deformación más). Esta es la herramienta clave para demostrar el teorema del índice de Atiyah-Singer:

Connes calcula el espacio orbital $Z \rtimes G_M^t$ (tras definir $h$ con la ayuda de la incrustación fija de $M$ en $\mathbb{R}^N$ ). Resulta que $Z \rtimes G_M^t$ es entonces otra deformación de $\mathbb{R}^N$ en el haz normal $\mathcal{N}$ a la inclusión de $M$ en $\mathbb{R}^N$ es decir $BG_M^t = (]0,1] \times \mathbb{R}^N) \cup \mathcal{N}$ como un conjunto. Tenemos las evaluaciones: $(e_0^h)_{\ast} \colon K(C^{\ast}(Z \rtimes G_M^t) \to K(\mathcal{N})$ y $(e_1^h)_{\ast} \colon K(C^{\ast}(Z \rtimes G_M^t)) \to K(\mathbb{R}^N)$ .

Junto con el isomorfismo de Thom $K^0(TM) \to K^0(\mathcal{N})$ y el isomorfismo de Bott (contrayendo $\mathbb{R}^N$ hasta cierto punto) $K(\mathbb{R}^N) \cong \mathbb{Z}$ recuperamos el índice topológico $ind_t$ de Atiyah-Singer utilizando $Z \rtimes G_M^t$ .

Recordemos en este punto la definición de $ind_a$ . El isomorfismo Connes-Thom $CT$ (que se especializa en el isomorfismo de Thom para $t = 0$ ) - o la inversa de $\mu_{G_M^t}$ - proporciona la última pieza que faltaba para obtener la igualdad de $ind_t$ con $ind_a$ demostrando el teorema del índice de Atiyah-Singer.

Caso general

Ahora podemos hacernos la pregunta: ¿Qué nos dice la conjetura de Baum-Connes sobre la teoría de índices de espacios más generales? Como se ha observado anteriormente, si consideramos el grupoide tangente para una variedad compacta sin límites, el mapa geométrico de ensamblaje de Baum-Connes da lugar básicamente al teorema de Atiyah-Singer. En general, la historia se pone realmente interesante: Podemos estudiar variedades con límites o, más en general, variedades foliadas (es decir, variedades con una familia de submanifolds inmersos u hojas). Existen groupoides asociados para estas variedades más singulares, a los que se puede adaptar gran parte de la maquinaria de la teoría de índices. Connes definió análogos potencialmente útiles del índice analítico y topológico para el caso de las foliaciones. El índice analítico general toma valores en $K(C^{\ast}(G))$ donde $G$ es el grupoide de holonomía de la foliación. La conjetura de Baum-Connes es en este caso indistinguible del problema del índice, que afirma que deberíamos encontrar una interpretación topológica de este índice analítico general (en términos del $K$ -homología de $G$ ).

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