¿Cuál es la mejor referencia para la teoría espectral?

Question

Estoy estudiando Bernard Aupetit: Una introducción a la teoría espectral

pero el libro de texto que estamos usando es un poco pesado para mí. ¿Hay algún libro mejor para aprender sobre estas cosas?

Gracias.

Answer 1

Los dos libros son bastante amplios y bien detallados:

• Dunford & Schwartz, Operadores lineales , Biblioteca de Clásicos Wiley, 1971

• Rudin, Análisis funcional McGraw-Hill, 1991

Menos especializado pero que trata muy bien algunas partes del tema es el Brezis, Análisis funcional también, y hay muchos ejercicios.

Esperando que sea de alguna utilidad.

Answer 2

Como nadie ha mencionado todavía a Reed y Simon, lo haré yo:

Reed, Michael y Simon, Barry. Métodos de la física matemática moderna Academic Press, 1980.

Por supuesto, la "teoría espectral" significa cosas diferentes para cada persona, dependiendo de lo que piense hacer con ella. Como sugiere el título, Reed y Simon se dirige en principio a los físicos matemáticos (mecánica cuántica, etc.), pero es un libro de texto de matemáticas honesto (todos los teoremas están demostrados, etc.). El primer volumen comienza con los fundamentos del análisis funcional y termina con el teorema espectral, y los volúmenes 2-4 proceden a partir de ahí. Creo que es un buen tratamiento para cualquier "analista en activo"; está bien motivado y tiene los pies en la tierra. Las aplicaciones a temas como la EDP se hacen más explícitas que en textos como el de Conway. También hay un montón de ejercicios realmente buenos.

Este libro es un poco inusual (en lo que creo que es una buena manera) ya que incluye, y muestra los beneficios de la versión del "operador de multiplicación" de Halmos del teorema espectral, mencionado ya por Jon Bannon.

Desgraciadamente, la edición actual es muy cara, por lo que, al principio, puede intentar pedirla prestada a una biblioteca o a un colega.

Answer 3

Soy un gran fan de la exposición en J. M. G. Fell & R. S. Doran, Representación de *algebras, grupos localmente compactos y haces algebraicos de Banach :

• §II.11 Medidas con valor de proyección e integrales espectrales
• §II.12 El análogo del teorema de Riesz para las medidas valoradas por proyección
• §VI.11 La teoría espectral de los operadores normales limitados
• §VI.12 La teoría espectral de los operadores normales no limitados
• §VI.15 Operadores compactos y operadores de Hilbert-Schmidt
• §VI.16 La teoría de Sturm-Liouville
• App. B Operadores no limitados en el espacio de Hilbert

Puede que no te guste que vaya "de lo abstracto a lo concreto", pero como tal está muy bien hecho. Hay bastantes ejemplos, aunque no trata la autoconjunción esencial, los índices de carencia, ni las extensiones autoconjuntas del laplaciano más los operadores de tipo potencial. Para eso, siempre hay Riesz-Nagy .

Answer 4

Me gusta mucho el tratamiento en "A Course in Functional Analysis" de John B. Conway. También hay un buen relato histórico del Teorema Espectral en el American Mathematical Monthly de Lynn Steen, disponible aquí .

Answer 5

Existe una exposición breve (121 páginas) y clara de un especialista: "Notes on Spectral Theory", Sterling K.Berberian (D.Van Nostrand Company,Inc.,1966).