Sin calcular las raíces cuadradas, determine cuál de los números:$a=\sqrt{7}+\sqrt{10}\;\;,\;\; b=\sqrt{3}+\sqrt{19}$ es mayor.

Question

Sin calcular las raíces cuadradas, determine cuál de los números:

PS

es mayor.

Mi trabajo (me preguntaba si hay otras formas de probar esto):

PS PS PS PS

Answer 1

Puede evitar la cuadratura comparando $$ \ eqalign { \ sqrt {12} a & = \ sqrt {84} + \ sqrt {120} <10 + 11 = 21 \, \ cr \ sqrt {12} b & = \ sqrt {36} + \ sqrt {228}> 6 + 15 = 21 \. \ cr} $$

Answer 2

Dado que $a$ y $b$ son ambos positivos, se deduce que $a<b \iff a^2<b^2$ ; a saber, $$a<b\iff17+2\surd70<22+2\surd57;$$ that is, $ a <b$ iff $ 2 (\ surd70- \ surd57) <5.$ Continuing equivalent statements in this way, we get$$a<b\iff508-8\surd3990<25\iff60\tfrac38<\surd3990\iff3600+45+\tfrac9{64}<3990,$ $, este último claramente es el caso.

Answer 3

PS $$a<b\iff a^2<b^2\iff 7+10+2\sqrt {70}<3+19+2\sqrt {57}$$ $ 20 \ sqrt {57}> 20 \ sqrt 4 = 40> 27. $

Otra forma, de uno de los pasos intermedios anteriores, es $\iff 2\sqrt {70}<5+2\sqrt {57}$$ $$\iff (2\sqrt {70})^2<(5+2\sqrt {57})^2$$ $$\iff 280<25+228+20\sqrt {57}$$$\iff 27<20\sqrt {57}$$ and we have $$$a<b\iff 2\sqrt {70}<5+2\sqrt {57}$ 5 (\ sqrt {70} + \ sqrt {57})> 5 \ sqrt {70}> 5 \ sqrt {64} = 40> 26 = 2 (70-57). $

O podríamos notar que $ $