He visto surgir la siguiente desigualdad al aplicar el método probabilístico (en combinatoria); potencialmente surge en otros lugares. Para todo $n\in\mathbb{N}$ y $0\le x\le 1$ , $$1-(1-x)^n\le nx.$$
Esta desigualdad se puede establecer de forma rutinaria con el cálculo, pero eso no aporta mucha información. Me doy cuenta de que esta pregunta es un poco vaga, pero ¿hay alguna perspectiva en la que esta desigualdad sea "natural"?
Depende de lo que entiendas por "natural", pero aquí tienes una explicación que puede resultarte útil, si estás conforme con la unión.
Supongamos que $x$ es la probabilidad de que una moneda salga cara. ¿Cuál es la probabilidad de que en $n$ ¿Independientemente de que tengamos al menos una cabeza? Una forma de pensar en esto es que se trata de la probabilidad de que la primera tirada sea cara, o la segunda, o la tercera, y así sucesivamente.
El límite de la unión establece que $\mathbb{P}(A_1\cup\cdots \cup A_n)$ es como máximo $\mathbb{P}(A_1)+\cdots+\mathbb{P}(A_n)$ . Si dejamos que $A_i$ sea el caso de que el $i$ Si el lanzamiento sale cara, entonces $\mathbb{P}(A_i)=x$ y así
$$\mathbb{P}(\textrm{at least one coin is heads}) \leq nx.$$
Por otro lado, el lado izquierdo es
$$1-\mathbb{P}(\textrm{all coins are tails})=1-(1-x)^n,$$
y así
$$ 1-(1-x)^n \leq nx.$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
¿Es la prueba de rutina la siguiente $(n\ge 1)$ ? $$ 1 - (1-x)^n = \int_{1-x}^1 n t^{n-1} dt \le \int_{1-x}^1 n 1^{n-1}dt = n(1 - (1-x)) = nx$$
1 votos
Sí, esa es la prueba que se me ocurrió, Calvin.