Biyección de preservación de línea de${\mathbb{R}}^n$ sobre sí mismo

Question

Si $f:{\mathbb{R}}^n\to{\mathbb{R}}^n$ $(n\ge2)$ es una bijección de tal forma que la imagen de cada línea es una línea (la continuidad de $f$ no se asume),debe ser $f$ una afinidad?

Asumir la continuidad sin duda sería suficiente, incluso suponiendo que $f$ es la preservación de órdenes en cada línea. ¿Hay un contraejemplo si dejamos caer la suposición de que $f$ es una bijección? ¿Alguna referencia?

Answer 1

Sí $f$ debe ser una afinidad – esto se llama el teorema fundamental de la geometría afín y se encuentra, por ejemplo, en la página 52 de geometríade M. Berger . (Para otros tratamientos e historial, véase esta pregunta.)

Answer 2

¿Asumes que $f$ es superjetivo? De lo contrario, $f(x,y)=(x^3+y,0)$ enviaría cualquier línea al eje $x$...