Extraña aproximación a$\sqrt{\pi}$

Question

Dejar PS Demuestre que $$\alpha = \sqrt{2\sin^2 1+\sqrt{2\sin^2 2 + \sqrt{2\sin^2 3 + \cdots}}} =\sqrt{3.1415...}$ . Sin embargo, es una aproximación notable.

Answer 1

Esto es fácil numéricamente. Es bien sabido que $$\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}=2$$ so the tail in the nested radical is always less than $ 2$. We find that $$\alpha < \sqrt{2\sin^2 1+\sqrt{2\sin^2 2 + \sqrt{2\sin^2 3 + \cdots +\sqrt{2\sin^2 13+2}}}}\approx 1.7724371077589929$$ so that $$\alpha^2 < 3.1415333009610635 < \pi$ $

Aquí está mi secuencia de comandos de Python:

 from math import sqrt, sin

def f(n):
    answer = 2+sqrt(2*sin(n)**2)
    for k in range(n-1,0,-1):
        answer = sqrt(2*(sin(k)**2)+answer)
    return answer

alpha = f(13)
print(alpha, alpha**2)

Esto imprime

 1.7724371077589929 3.1415333009610635