Picard grupo de producto de espacios

Question

Supongamos $X,Y$ son variedades a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$. Podemos calcular $\operatorname{Pic}(X \times_k Y) $ en términos de $\operatorname{Pic}(X),\operatorname{Pic}(Y)$? Parece que $\operatorname{Pic}(X \times_k Y) \cong \operatorname{Pic}(X) \times \operatorname{Pic}(Y)$ no es del todo correcto, pero no puedo averiguar un contraejemplo. (Yo pensaba que uno podría construir Ufd $A,B$, pero su producto tensor no es UFD).

Answer 1

Ischebeck ha demostrado que dado un algebraicamente cerrado campo de $k$ y dos normales integral algebraicas $k$-esquemas $X,Y$ hay una secuencia exacta de los grupos de $$ 0\to Pic(X)\times Pic (Y)\to Pic(X\times Y)\to Pic (k(X)\otimes _k k(Y)) $$ Nota que ni la variedad que se supone completo, ni afín, ni...
Esto es muy interesante porque a pesar de que otros usuarios han demostrado que el grupo de Picard de que el producto de dos variedades pueden ser más grande que el producto de los factores, Ischebeck da un límite para la discrepancia.
En particular, si una de las variedades, decir $Y$, es racional, entonces el anillo de $k(X)\otimes _k k(Y)$ es una fracción anillo de $S^{-1}A$ del polinomio anillo de $A=k(X)[T_1,...,T_n]$ sobre el campo de $k(X)$, por lo que es un UFD y por lo tanto tiene cero Picard grupo: $$Y\operatorname {rational}\implies Pic(X\times Y) =Pic(X)\times Pic (Y)$$
Esta es una gran generalización de $Pic( X \times\mathbb A^1) =Pic(X)$.

Answer 2

En algunos casos es cierto:

Si $X$ es una variedad proyectiva a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$ tal que $H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$, e $T$ está conectado a un esquema de finito de tipo más de $k$,$\mathrm{Pic}(X \times T) \cong \mathrm{Pic}(X) \times \mathrm{Pic}(T)$. Este es el ejercicio III.12.6. en Hartshorne del libro.

Desde $\mathrm{Pic}(\mathbb{A}^1)=0$, un caso especial de la cuestión es el "homotopy invariancia" $\mathrm{Pic}(X \times \mathbb{A}^1) \cong \mathbb{Pic}(X)$. Esto es al $X$ es normal, pero no en general (SE/432217).

Answer 3

Si $X$ $Y$ son dos curvas, a continuación, $\mbox{Pic}(X\times Y)\simeq\mbox{Pic}(X)\times\mbox{Pic}(Y)\times\mbox{Hom}(J_X,J_Y)$ donde $J_X$ $J_Y$ el valor del jacobiano variedades de $X$$Y$, respectivamente. En particular, por ejemplo, si $X$ $Y$ son dos isogenous curvas elípticas, a continuación,$\mbox{Hom}(J_X,J_Y)\neq0$.