Dejemos que $X$ denota el mayor subconjunto de enteros Impares con la propiedad de que cada exponente en la factorización de primos de cualquier $x \in X$ pertenece a $X$ .
La conjetura afirma que la densidad de $X$ entre los enteros es $1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
¿Esta conjetura es correcta?
Esta es una actualización de mi respuesta original, que era incorrecta.
La conjetura es falsa. Demostraré que cualquier $X$ en la conjetura tiene una densidad a lo sumo
$$ 0.4226496 < 1-\frac{1}{\sqrt{3}}= 0.4226497...$$
Dejemos que $Y$ sea el conjunto de números Impares cuyos exponentes primos son Impares y diferentes de $9$ . Evidentemente, cualquier $X$ en la conjetura es un subconjunto de $Y$ . Sin embargo, la densidad de $Y$ es igual a
$$ \frac{1}{2}\prod_{p>2}\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{p-p^{-1}}-\frac{1}{p^9}\right) $$
que es menor que
$$ 0.42264954363092750400907132916 $$
mediante el comando SAGE
(1/2)*prod([RealField(100)(1-1/p)*(1+1/(p-1/p)-1/p^9) for p in prime_range(3,1000000)])
Dejemos que $A$ sea cualquier conjunto de enteros positivos tal que $1\in A$ y que $B$ sea el conjunto de enteros tal que cada exponente en la factorización prima de cualquier $x\in B$ pertenece a $A$ . Entonces la densidad de $B$ existe y es igual a $$ \prod_{\text{primes }p} \bigg( 1-\frac1p \bigg) \bigg( 1 + \sum_{a\in A} \frac1{p^a} \bigg). $$ En este caso, $A=B=X$ (lo cual es bastante genial).
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