Uso de conjeturas para demostrar un teorema

Question

Nombra un teorema T que tenga una prueba basada en la verdad de una conjetura C, y que también tenga otra prueba basada en la falsedad de la misma conjetura C, pero que durante mucho tiempo no tenga una prueba directa conocida que sea independiente de C. Por ejemplo, sería una afirmación que se pueda demostrar si P=NP, y que también se pueda demostrar si P es diferente de NP. Pido disculpas si la pregunta fue formulada anteriormente (también me disculpo por el título si no refleja fielmente la pregunta).

Answer 1

Otro ejemplo estándar es el teorema de Littlewood de que el número de primos menores que x es a veces mayor que Li(x). Su demostración utiliza diferentes argumentos dependiendo de si la hipótesis de Riemann es verdadera o falsa. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Skewes%27_number

Answer 2

Qué tal este básico:

Teorema: Existe un número irracional $p$ y un número irracional $q$ tal que $p^q$ es racional.

Prueba de ello: Sea $q=\sqrt{2}$ y nota que es irracional. Conjetura: $q^q$ es irracional. Si esta conjetura es falsa, entonces hemos terminado (el teorema se demuestra con $p=q$ ). Si la conjetura es cierta, entonces dejemos que $p=q^q$ y nota que es irracional. El teorema es cierto también en este caso ya que $$p^q=(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2$$ es racional.

Answer 3

Si lo que pide es un ejemplo de tal método en acción, entonces tiene el teorema de Hecke-Deuring-Heilbronn que $h(D) \rightarrow \infty$ como $D \rightarrow \infty$ , donde $h(D)$ es el número de clase del campo cuadrático imaginario con discriminante $D$ .

La parte de Hecke es que el resultado es verdadero si no hay ceros de Siegel de las funciones L para campos cuadráticos imaginarios. Los ceros de Siegel son ceros excepcionales que se dan en la recta real en el intervalo $(\frac{1}{2}, 1)$ . La parte de Deuring-Helbronn es que el resultado es verdadero si hay ceros de Siegel. La prueba utiliza un efecto de "repulsión" de tales ceros, que se llama el fenómeno Deuring-Heilbronn. Todo esto lo explica Dorian Goldfeld en un artículo del boletín, " Problema del número de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios ".

La existencia de los ceros de Siegel es una versión más fuerte de la negación de la hipótesis generalizada de Riemann. Es de esperar que en el futuro se demuestre la hipótesis de Riemann generalizada y, por tanto, que se demuestre que el estudio de los ceros de Sigel ha sido sólo el estudio del conjunto vacío.

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Historia posterior (añadida sólo para obtener información adicional): Este método fue reforzado más tarde por Landau, Siegel, etc., y finalmente con desarrollos más recientes sobre la conjetura Birch-Swinnerton-Dyer por Gross y Zagier, una versión efectiva de este teorema fue demostrada por Dorian Goldfeld, y las constantes explícitas fueron calculadas por Joseph Oesterlé. De este modo, el problema del número de la clase de Gauss quedó resuelto en su totalidad.

Gracias a Keith Conrad por corregir las ambigüedades.