¿Existe una solución general para la ecuación diferencial $f''(x) = f(f(x))$ ?

Question

Actualmente estoy estudiando ecuaciones diferenciales y me he obsesionado con la ecuación diferencial $f''(x) = f(f(x))$ desde hace dos días. Parece que no puedo descifrarlo pero parece que debería tener una solución general?

Answer 1

Observación: He tenido un poco de tiempo para escribir un borrador de mis notas sobre las pruebas de las afirmaciones que hago a continuación y lo he publicado en mi página web principal aquí . (Habría sido un post muy largo en MO, así que decidí que sería mejor simplemente enlazarlo a un archivo en mi directorio público).

Hay muchos local soluciones de esta ecuación. Por ejemplo, supongamos que se parte de una $C^2$ función $f$ en un intervalo $I\subset\mathbb{R}$ tal que $f'$ es positivo en $I$ y $f(I)$ es disjunta de $I$ . Entonces, un inverso $g:f(I)\to I$ de $f:I\to f(I)$ existe y es $C^2$ . Ahora defina $f$ en el intervalo $f(I)$ para que $f(y) = f''(g(y))$ para $y\in f(I)$ . Entonces para $x\in I$ Tendremos $x = g(y)$ para algunos $y\in f(I)$ y, por supuesto, $y = f(x)$ . Entonces $f''(x) = f''(g(y)) = f(y) = f(f(x))$ para todos $x\in I$ .

Este tipo de soluciones "aproximadas" se construyen sin puntos fijos. Las soluciones con puntos fijos son mucho más rígidas. A $C^2$ solución en un dominio abierto $D$ tal que $f(D)\subset D$ debe ser suave en $D$ ya que $f''=f{\circ}f$ lo que implica que si $f$ es $C^k$ entonces $f$ debe ser $C^{k+2}$ . De hecho, con un poco de esfuerzo, se puede demostrar que un $C^2$ con un punto fijo contratante debe ser real-analítica en una vecindad del punto fijo, ya que la ecuación $f''=f{\circ}f$ permite demostrar una estimación de la forma $|f^{(k)}|\le C^k\,k!$ para alguna constante $C$ en una vecindad del punto fijo.

Nota 1: Para cada constante $b\in\mathbb{C}$ existe una única serie de potencias formal con el término de menor orden $bz$ que satisface $f''(z) = f(f(z))$ . Los primeros términos son $$ f(z) = bz+\frac{{b}^{2}}{3!}\,{z}^{3} +{\frac {{b}^{3} \left( {b}^{2}{+}1 \right)}{5!}}\,{z}^{5} +{\frac {{b}^{4} \left( {b}^{6}{+}{b}^{4}{+}11\,{b}^{2}{+}1\right)}{7!}}\,{z}^{7}+\cdots.\tag1 $$ Cuando $|b|<1$ esta serie converge absoluta y uniformemente en el disco $|z|^2\le 6\bigl(1{-}|b|\bigr)$ y satisface $|f(z)|\le |z|$ allí. Véase el apéndice más abajo para una estimación más precisa (pero aún no tan precisa) del radio de convergencia.

Actualización (1 mar 2021): Se puede demostrar que, cuando $b$ es un pequeño número real negativo, la función anterior $f$ se extiende real y periódicamente a $\mathbb{R}$ y da un $1$ -familia de parámetros de soluciones no triviales $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . En particular, tal $f$ se extiende holomórficamente a una franja de anchura fija alrededor de $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ . (Mientras tanto, cuando $-1<b<0$ el radio de convergencia de la serie de potencias (1) es sólo $r(|b|)\in(0,\infty)$ (véase el apéndice más abajo), que es un comportamiento muy diferente al que se produce cuando $0<b<1$ .)

Anexo a la nota 1: Se puede demostrar que, cuando $0<b<1$ la función impar real-analítica $f$ que iguala la serie de potencias (1) en su intervalo de convergencia se extiende real-analíticamente a un intervalo acotado $\bigl(-r(b),r(b)\bigr)\subset\mathbb{R}$ en el que $|f(x)|<|x|$ y que $\lim_{x\to r(b)^-}f(x)=r(b)$ . En particular, $f:\bigl(-r(b),r(b)\bigr)\to\bigl(-r(b),r(b)\bigr)$ es un difeomorfismo real-analítico con un único punto fijo de contracción en $x=0$ . Además, la serie formal converge a $f$ uniformemente en subconjuntos compactos de $\bigl(-r(b),r(b)\bigr)$ y $f$ no puede extenderse real-analíticamente a cualquier intervalo mayor. (Hay algunos indicios de que $f$ puede extenderse sin problemas más allá de $x = r(b)$ En ese caso, $x=r(b)$ se convertiría en un punto fijo expansivo de $f$ .) También, $r:(0,1)\to(0,\infty)$ es una biyección continua y decreciente, y $$ \frac{\sqrt{6\bigl(1{-}b\bigr)}}{b} > r(b)> \begin{cases} \sqrt{\displaystyle\frac3{2b}} & \text{for}\ 0<b\le\tfrac12,\\ \\ \sqrt{6(1{-}b)} & \text{for}\ \tfrac12\le b<1, \end{cases} $$ de lo que se deduce que, para $b=1$ el radio de convergencia de la serie es $0$ .

Nota 2: Más generalmente, para dos constantes cualesquiera $a,b\in\mathbb{C}$ existe una serie formal de potencias $$ f(z) = a+b\,(z{-}a) +\frac{a}{2!}\,(z{-}a)^2 +\frac{b^2}{3!}\,(z{-}a)^3 +\frac{ab(b{+}1)}{4!}\,(z{-}a)^4 +\cdots\tag2 $$ que tiene $a$ como un punto fijo formal, es decir $f(a) = a$ para que la composición $f(f(z))$ tiene sentido como una serie de potencias centrada en $z = a$ y, formalmente, $f'(a) = b$ que satisface $f''(z) = f(f(z))$ como serie de potencia formal centrada en $z = a$ . Además, esta es la única serie de potencias centrada en $z=a$ que tiene $f(a) = a$ y $f'(a) = b$ y satisface $f''(z) = f(f(z))$ como series de potencias formales.

Como en el caso de $a=0$ cuando $|b|<1$ para que $f$ es una "contracción formal" en una vecindad de $a$ resulta que la serie converge absoluta y uniformemente en un disco de la forma $|z-a| \le r(a,b)$ para algunos $r(a,b)>0$ por lo que se obtiene una familia de soluciones locales de dos parámetros con un punto fijo contratante.

Nota 3: Las (dos) soluciones multivaluadas descritas por Michael Engelhardt tienen puntos fijos y por lo tanto son (continuaciones analíticas de) soluciones del tipo (2). Esto se puede ver de la siguiente manera: Estas soluciones (multivaluadas) pueden escribirse de la forma $$ f(x) = i\sqrt{2}\,\left(\frac{x}{i\sqrt{2}}\right)^b,\qquad \text{where}\ b = \tfrac12(1\pm i\sqrt{7}). $$ Claramente, $a\in\mathbb{C}$ será un punto fijo, es decir $f(a) = a$ si y sólo si $$ 1 = \left(\frac{a}{i\sqrt{2}}\right)^{b-1}, $$ y esto ocurre (para $b = \tfrac12(1+i\sqrt7)$ ) cuando, para algún número entero $k$ , $$ a = a_k = i\sqrt{2}\, e^{i\pi k(1+i\sqrt7)/2} = i^{k+1}\sqrt{2}\,\left(e^{-\pi\sqrt7}\right)^{k/2}. $$ Además, tenemos $$ f'(a_k) = b\left(\frac{a_k}{i\sqrt2}\right)^{b-1} = b, $$ así que $|f'(a_k)| = |b| = \sqrt 2>1$ , lo que implica que el punto fijo es un punto fijo repelente.

Esto es interesante porque implica que la serie de potencias formal (2) para $(a_k,b)$ debe tener un radio de convergencia positivo, aunque $|b|>1$ . Esto me llevó a especular que tal vez la serie de potencias formal (2) podría tener un radio de convergencia positivo para cualquier $(a,b)\in\mathbb{C}$ pero Will Sawin (en un comentario más abajo) señaló que esto no puede ser cierto.

Answer 2

La ecuación tiene soluciones con potencias, $f(x) = ax^b$ . Insertando este ansatz, se tiene $$ a b (b-1) x^{b-2} = a (a x^b)^b = a^{b+1} x^{b^2} \ , $$ por lo que los requisitos de $a$ y $b$ son $$ b-2 = b^2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ b = \frac{1\pm i\sqrt{7} }{2} $$ y $$ b(b-1) = a^b \ \ \ \Rightarrow \ \ \ a = (b(b-1))^{1/b} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ a = (-2)^{1/b}$$

Así, se obtienen dos soluciones, que tendrán que ser restringidas al complejo $x$ plano con un corte para dar sentido a los exponentes no enteros.

Answer 3

Las soluciones son:

$$\displaystyle f_1(x) = e^{\frac{\pi}{3} (-1)^{1/6}} x^{\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}}$$ $$\displaystyle f_2(x) = e^{\frac{\pi}{3} (-1)^{11/6}} x^{\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}}$$

La técnica de solución se encuentra en este documento .

Para un caso general, la solución de la ecuación

$$f'(z)=f^{[m]}(z)$$

tiene la forma

$$f(z)=\beta z^\gamma$$

donde $\beta$ y $\gamma$ debe obtenerse del sistema

$$\gamma^m=\gamma-1$$ $$\beta^{\gamma^{m-1}+...+\gamma}=\gamma$$

En su caso $m=2$ .