Uso de indiscernibles en la teoría de modelos

Question

¿Cuál es el principal uso de los indiscernibles en la teoría de modelos? Leyendo la Teoría de Modelos de Chang y Keisler parece que la principal motivación de los indiscernibles es para conseguir muchos modelos no isomórficos para una teoría (como la teoría del orden lineal denso sin punto final). Además, ¿puede recomendar la mejor fuente para leer sobre los indiscernibles y sus usos?

Answer 1

Algunos otros usos clásicos de los indisceribles debidos a Morley:

• En la prueba que $\kappa$ -las teorías categóricas son $\omega$ -estable (para $\kappa\ge\aleph_1$ ), construye un modelo de tamaño $\kappa$ realizando sólo un número contable de tipos sobre cada conjunto contable tomando un modelo generado por indiscernibles bien ordenados.

• Si para todos $\alpha<\omega_1$ hay un modelo de tamaño $\beth_\alpha$ omitir un tipo $p$ , entonces hay modelos arbitrariamente grandes que omiten $p$ o, más generalmente, si un $L_{\omega_1,\omega}$ La frase tiene modelos de tamaño $\beth_\alpha$ para todos $\alpha<\omega_1$ entonces tiene modelos arbitrariamente grandes. Estos resultados necesitan el teorema de partición de Erd "os-Rado.

Answer 2

Eran,

Hasta donde yo sé, la indiscernibilidad se utiliza de dos maneras en la teoría de modelos. Una, como dices, es para obtener muchos modelos no isomórficos. Este es sin duda el uso clásico de la indiscernibilidad.

Otra, más moderna, es tener acceso a herramientas como el teorema de Ramsey y su versión incontable, el teorema de Erdos-Rado. Esto es útil en algunas formulaciones de teoría de la estabilidad o (más recientemente, como en la obra de Byunghan Kim ) de simplicidad . La cuestión es que las nociones de bifurcación y dividiendo son más limpias de formular en presencia de secuencias suficientemente indiscernibles. (Hay varias referencias modernas para la estabilidad, etc., en las que el uso de la indiscernibilidad es evidente; véase, por ejemplo, "Simple theories" de Frank Wagner, Mathematics and its applications, Kluwer Academic Publishers, 2000.

Un tercer uso de la indiscernibilidad es bastante común en la teoría de conjuntos, donde es el enfoque más común para definir las grandes nociones cardinales conocidas como punzantes . Una buena referencia para este uso es "El infinito superior" de Kanamori.

Answer 3

Otro uso importante de las secuencias y árboles indiscernibles se encuentra en el capítulo VIII del libro de Shelah sobre teoría de la clasificación. Hay muchos teoremas de la forma Si T es inestable (no superestable) entonces T tiene el máximo número de modelos. Tales teoremas son necesarios para demostrar "la brecha principal", esta tecnología tiene también varias aplicaciones a la teoría de grupos.

Answer 4

Otra aplicación de los indiscernibles es mostrar que una teoría de primer orden consistente con modelos infinitos tiene modelos con muchos automorfismos. En particular, toda teoría de primer orden $T$ (en un vocabulario contable) que posee un modelo infinito tiene un modelo cuyo grupo de automorfismo tiene una teoría de primer orden indecidible (en el vocabulario de grupos). Este resultado se debe a Bludov, Giraudoux, Glass y Sabbagh.

Creo que este resultado puede extenderse para mostrar que toda clase elemental abstracta $A$ que tiene miembros de cardinalidad ilimitadamente grande también tiene miembros en cada potencia suficientemente grande que poseen grupos de automorfismo indecidibles. De ello se deduce que $A$ tiene modelos no rígidos. Si $A$ también tiene modelos rígidos en una cardinalidad suficientemente grande, entonces $A$ no es categórica. Esto es válido para las clases definidas por sentencias o teorías en algunas lógicas infinitas, por ejemplo $L_{\omega_{1} \omega}$ Un caso muy interesante.

Puede ser muy difícil construir modelos rígidos en un AEC, y con frecuencia éstos no son absolutamente rígidos, por ejemplo, por encima del primer $\omega$ -Erdos cardinales, su rigidez puede ser destruida por el forzamiento. En $GCH$ o $V=L$ pero se puede intentar construir modelos rígidos con diamantes $\lozenge_{\kappa}$ para eliminar los automorfismos; de este modo, se puede abordar la consistencia relativa de los resultados que refutan las conjeturas de categoricidad.

Answer 5

Otra familia de teoremas que utiliza conjuntos y árboles indiscernibles son dos teoremas cardinales de Vaught, Morley, Shelah y otros.