Gavilla canónica de espacio proyectivo

Question

Estoy atascado en un paso que ocurre sin explicación en varios libros de geometría algebraica.

Partiendo de la secuencia exacta

PS

se concluye que$$0\rightarrow \Omega_{\mathbb{P}^n}\rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus n+1}\rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}\rightarrow 0$ $

¿Cómo sigue esto y, en particular, cómo sigue$$\omega_{\mathbb{P}^n}=\wedge^n \Omega_{\mathbb{P}^n}\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-n-1)$?

Gracias por adelantado.

Answer 1

det del término medio de una secuencia corta exacta es el producto tensorial de los dets de los términos izquierdo y derecho (det = cuña superior).

El paquete canónico es det de \ Omega, det de O es O.

Answer 2

Se podría ver esto de la siguiente manera. Tenemos PS donde$$\omega_{\mathbb{P}^n} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(c_1)$ es la primera clase Chern. Ahora, por la secuencia exacta de Euler PS obtenemos PS Por lo tanto PS