Toda una función es idéntica a cero?

Question

Me estoy preparando para un Doctorado preliminar en el Análisis Complejo, y me encontré con esta pregunta de un viejo Doctorado preliminar:

Supongamos $f(z)$ es una función tal que $|f(z)| \leq \log(1+|z|) \forall z$. Mostrar que $f \equiv 0$.

Bien, para $z=0$, $|f(0)| \leq 0$. Por otro lado, para $z \neq 0$, $\log(1+|z|) > 0$, una constante positiva. Supongo que esto significaría que $f$ resulta ser un almacén de toda la función, entonces, por el teorema de Liouville, $f$ es constante, pero esto no significa necesariamente que $f \equiv 0$, no? Estoy equivocado en alguna parte? Algunos orientación sería muy apreciada!

Answer 1

Desde $f$ es entero se puede expresar como una potencia de la serie que converge en todas partes: $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$. De $|f(0)| \leq 0$ sabemos que $f(0)=0$, por lo tanto $a_0 = 0$. Por lo $g(z) := f(z)/z$ puede ser continuado a toda una función que satisface $$|g(z)| \leq \frac{\log(1+|z|)}{|z|} \quad \text{for all } z\neq 0.$$ El lado derecho converge a cero para $|z| \to \infty$, en particular es limitada. Por el teorema de Liouville, $g$ está en constante cero y así es $f$.

Answer 2

Vamos a probar un poco más genaral hecho. La prueba se basa en esta respuesta

Teorema. Deje $f\in\mathcal{O}(\mathbb{C})$, y para todos los $z\in\mathbb{C}$ tenemos $|f(z)|\leq\varphi(|z|)$. Suponga que $$ \lim\limits_{R\+\infty}\frac{\varphi(R)}{R^{p+1}}=0 $$ a continuación, $f$ es un polynimial con $\deg (f)\leq p$.

Prueba. Desde $f\in\mathcal{O}(\mathbb{C})$, luego $$ f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n z^n $$ para todos los $z\in \mathbb{C}$. Además, para todos los $R>0$ tenemos representación integral de los coeficientes de $$ c_n=\int\limits_{\parcial B(0,R)}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz $$ Entonces, tenemos un estiamtion $$ |c_n|\leq \cualquier\limits_{\parcial B(0,R)}\frac{|f(z)|}{|z|^{n+1}}|dz|\leq \cualquier\limits_{\parcial B(0,R)}\frac{\varphi(|z|)}{|z|^{n+1}}|dz|= \frac{2\pi R\varphi(R)}{R^{n+1}}= \frac{2\pi \varphi(R)}{R^{n}} $$ Por tanto, para $n>p$ obtenemos $$ |c_n|\leq\lim\limits_{R\+\infty}\frac{2\pi\varphi(R)}{R^n}= 2\pi\lim\limits_{R\+\infty}\frac{1}{R^{n-p-1}}\lim\limits_{R\+\infty}\frac{ R\varphi(R)}{R^{p+1}}=0 $$ lo que implica $c_n=0$$n>p$. Finalmente llegamos $$ f(z)=\sum\limits_{n=0}^p c_n z^n+\sum\limits_{n=p+1}^\infty c_n z^n=\sum\limits_{n=0}^p c_n z^n $$ Esto significa que $f$ es un polynimial con $\deg(f)\leq p$.

Para su problema en particular $\varphi(R)=\log(1+R)$, y es fácil comprobar que $$ \lim\limits_{R\+\infty}\frac{\varphi(R)}{R}=0 $$ Por lo tanto, $f(z)=c_0$ es una función constante. Por otra parte, $$ |c_0|=|f(0)|\leq\log(1+|0|)=0 $$ por lo $c_0=0$ $f(z)=0$ todos los $z\in\mathbb{C}$.