Sistema de funciones iteradas en el avión.

Question

Sea$r_1, r_2, r_3$ tres números reales no negativos con$r_1^2+r_2^2+r_3^2 <1$. ¿Puede encontrar tres similitudes$f_1,f_2,f_3$ en$\mathbb{R}^2$ con proporciones de similitud$r_1,r_2,r_3$ resp. y un conjunto abierto no vacío$O \subset \mathbb{R}^2$ tal que$f_i(O) \subset O$ y$f_i(O) \cap f_j(O)=\emptyset$ para$i \neq j$?

(Generalizaciones naturales pensables, pero me quedé en esta etapa).

Answer 1

Corregido:

Dejar $R = \max \{r_1+r_2, r_2+r_3, r_3+r_1 \}$. Esto se puede hacer cuando$R \leq 1$.

Tome 3 puntos no colineales$p_1,p_2,p_3$ en el plano y tome los mapas auto-similares habituales$f_i(x)=r_i(x−p_i)+p_i, 1 \leq i \leq 3$, y deje que$O$ sea el interior del triángulo formado por los 3 puntos.