¿Tiene$\int _0^{\pi }e^x\sin ^n x\:\mathrm{d}x$ una forma cerrada?

Question

¿Existe un formulario cerrado para $\displaystyle\int _0^{\pi }e^x\sin ^n x\:\mathrm{d}x$ ?

Intenté evaluar esto con valores como $n=1,2$ con integración por partes y parecía estar bien, pero cuando intenté con valores más altos como $n=3,4,5$ se volvió más tedioso y no pude evaluar.

¿Podría ayudarme a encontrar la forma cerrada de esta expresión, por favor?

Answer 1

Deje $I_n = \int _0^{\pi }e^x\sin ^n x dx$ e integre por partes dos veces para obtener la siguiente ecuación recursiva

PS

con $$I_n = \frac{n(n-1)}{n^2+1}I_{n-2}$ y $I_0= e^\pi-1$ .

Answer 2

$$ \ int_0 ^ \ pi e ^ x \ left (\ frac {e ^ {ix} - e ^ {- ix}} {2i} \ right) ^ n \, dx $$ Expanda la potencia $n$ th mediante el teorema binomial y aplique la ley distributiva, luego integre término por término.

Como función de $n$ , no llamaría a eso una forma cerrada, pero como función de $x$ es una forma cerrada.

Answer 3

Alimenté la recurrencia de Quanto a Maple. Dice que la solución es: $$ I_n = {\ frac {\ pi \, {{\ rm e} ^ {\ pi / 2}} n! } {{2} ^ {n} \ Gamma \ left (n / 2 + 1 + i / 2 \ right) \ Gamma \ left (n / 2 + 1-i / 2 \ right)}}. $$