Dejemos que $R$ el anillo polinómico en $n$ variables con coeficientes complejos y $I$ un ideal de $R$ . ¿Es cierto que si $R/I$ es CM también $R/J$ es CM (donde $J$ es el radical de $I$ )? ¿Existen relaciones entre una resolución de $R/J$ y una de $R/I$ ? ¿Y si supongo que $proj.dim(R/I)=2$ ?
Es no es cierto pero el ejemplo no es fácil de encontrar $I = (x_2^2-x_4x_5,x_1x_3-x_3x_4, x_3x_4-x_1x_5)$ ¡!
Lo único que me viene a la cabeza son las hipersuperficies. En general, probablemente no se pueda decir mucho. Por ejemplo, muchas variedades son intersecciones completas localmente teóricas de conjuntos (es decir, los radicales son cortados por una secuencia regular localmente) pero no satisfacen ninguna propiedad agradable en sí mismas. ¿Quizás Long tenga alguna sugerencia más?
Por lo que parece que también si R/J es CM entonces R/I es CM, pero esto es falso si no me equivoco.
Tienes razón. Supongo que también hay que observar dos cosas: 1) un máximo $R/I$ -es también una secuencia maximalista $R/J$ para que la profundidad( $R/J$ ) $\geq$ profundidad( $R/I$ ), y 2) la profundidad de cualquier ideal maximal es menor o igual que su codimensión.
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¿Por qué la dimensión proyectiva 2? El ejemplo de Hartshorne $k[s^4,s^3t,st^3,t^4]$ trabaja en char $p>0$ .
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Porque estoy viendo un caso en el que la dimensión proyectiva es 2. Lo siento, no estoy seguro con el ejemplo de Hartshorne....pero trabajo en char p=0.
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Michele: Dudo que sea cierto en la dimensión proyectiva 2. Si tienes una situación específica, deberías publicar los detalles por separado. Esto no es fácil de responder sin conocer todos los detalles.
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Lo siento, tienes razón. En mi caso I es el ideal jacobiano de un polinomio f tal que R/I es CM de codim 2 y por tanto proj.dim 2