Hausdorff mínimo

Question

Se dice que un espacio de Hausdorff$(X,\tau)$ es mínimo de Hausdorff si para cada topología$\tau' \subseteq \tau$ con$\tau' \neq \tau$ el espacio$(X,\tau')$ no es Hausdorff.

Cada espacio compacto de Hausdorff es mínimo de Hausdorff.

Me gustaría saber:

1) ¿Cada espacio mínimo de Hausdorff es compacto?

2) ¿Cada topología de Hausdorff contiene una topología de Hausdorff mínima?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Sugerencia : espero que puedas aprovechar el hecho de que$\sqrt{2}$ es irracional.

Por la densidad de los racionales, sabes que hay un$r$ racional distinto de cero tal que PS

Ahora básicamente se acabó. (¡Casi me olvido de insistir en que$$\frac{x}{\sqrt{2}} <r <\frac{y}{\sqrt{2}}.$ no sea cero!)

Answer 2

Mi instinto (necesito sentarme con un trozo de papel para confirmarlo) es No y No. Para el primero, estoy bastante seguro de que cualquier espacio de Hausdorff no compacto generado de forma compacta proporcionará un contraejemplo: por lo tanto, en particular ,$\mathbb{R}$ con su topología habitual. Para el segundo, comenzaría a buscar espacios donde hay dos lugares donde hay redundancia, pero donde no se pueden eliminar las dos cantidades de redundancia al mismo tiempo.