Esfera de homología racional que no es un colector de Seifert

Question

Me pregunto si existe un ejemplo de esfera de homología racional que no sea un colector de Seifert. Si lo hay, ¿cómo se puede construir dicha esfera de homología racional a partir de una cirugía de un nudo en $S^3$ ?

Answer 1

Según Thurston, todos menos un número finito $(p,q)$ -en un nudo hiperbólico en $S^3$ resultado en esferas de homología racional hiperbólica para $p\neq 0$ . En particular, hay infinitas esferas de homología integral entre ellas.

Answer 2

Si se pegan las caras opuestas de un dedecaedro con un giro de $\frac\pi5$ se obtiene la clásica esfera de Poincaré. Es una esfera de homología integral, y una variedad de Seifert, véase el comentario de BS más abajo.

Pero si se hace el encolado con un giro de $\frac{3\pi}5$ , entonces se obtiene el Colector Seifert-Weber que es una esfera de homología racional con estructura hiperbólica, por lo que definitivamente no es una variedad de Seifert. Tiene $H_1\cong(\mathbb Z/5)^3$ Ver el comentario de Neil Hoffman. No sé qué nudo daría este colector. Pero se pueden deducir muchas de sus propiedades haciendo un dibujo de un dodecaedro con las esquinas, aristas y demás identificadas.