Unidades especiales en el campo ciclotómico$11$ th

Question

En relación con este problema :

¿Existen enteros$a_0,\dotsc,b_{10}\ge 0$ tales que$a_0+\dotsb+a_{10}=36$,$b_0+\dotsb+b_{10}=37$ y $$ (a_0+a_1\zeta+\dotsb+a_{10}\zeta^{10})(b_0+b_1\zeta+\dotsb+b_{10}\zeta^{10})=1, $$ where $ \ zeta$ a primitive $ 11 $ -ésima raíz de la unidad? Si existen, ¿se pueden describir / enumerar explícitamente todos?

Darse cuenta de $36\cdot 37=11^3+1$.

Answer 1

Si. Por supuesto $$ (1 + \ zeta + \ zeta ^ {10}) \, (\ zeta + \ zeta ^ 4 + \ zeta ^ 7 + \ zeta ^ {10}) = 1 $$ con y $\sum_i a_i = 3$; ahora cambie cada$\sum_i b_i = 4$ a$a_i$ y cada$a_i+3$ a$b_i$. (Esta no es la única solución: $b_i+3$ también funciona con algo de espacio de sobra).