Me gustaría añadir algo a la discusión anterior.
Deje que $f:]0,+\infty[ \a [0,+\infty[$ una función medible, $N\in \mathbb{N}$, $x\in \mathbb{R}^N$ y $t\in \mathbb{R}$. Consideremos el conjunto:
$$E_f:=\{ (x,t)\in \mathbb{R}^{N+1}:\ |x|\leq |f(t)|\}$$
que es el cuerpo de revolución generado por $f$ con respecto a los $t$ eje en $\mathbb{R}^{N+1}$.
Usando coordenadas cilíndricas, se encuentra para la medida de Lebesgue de $\mathcal{L}^{N+1}(E_f)$ $ $ el siguiente expresión:
$$\mathcal{L}^{N+1} (E_f)=\omega_N \int_0^{+\infty} f^N (t)\ \text{d} t\; ,$$
donde $\omega_N$ es el volumen de la unidad de la bola en $\mathbb{R}^N$ (es decir, $\omega_N:=\pi^{\frac{N}{2}}/ \Gamma (\frac{N}{2} +1)$), por lo tanto $\mathcal{L}^{N+1}(E_f)=\omega_N \| f\|_{L^N}^N$ y $\mathcal{L}^{N+1} (E_f)$ es finito iff $f\in L^N(]0,+\infty[)$.
Por otro lado, si $f$ es también de Lipschitz continua, es fácil calcular el área de la superficie (o De Giorgi perímetro) $\mathcal{P} (E_f)$ de $E_f$: usando coordenadas cilíndricas se encuentra:
$$\mathcal{P} (E_f)=N\omega_N \int_0^{+\infty} f^{N-1}(t)\ \sqrt{1+|f^\prime (t)|^2} \text{d} t\; ,$$
por lo tanto:
$$N\omega_N \| f\|_{L^{N-1}}^{N-1} \leq \mathcal{P} (E_f) \leq N\omega_N\sqrt{1+\| f^\prime \|_{L^\infty}^2}\ \| f\|_{L^{N-1}}^{N-1}$$
y $\mathcal{P} (E_f)$ es finito iff $\| f\|_{L^{N-1}}^{N-1}$.
Deje que $\mathcal{S} (E_f)$ ser la medida de las secciones de $E_f$ obtiene cortando el juego con cualquier hyperplane $\Pi:=\{ (x,t)|\ \langle a,x\rangle =0\}$ ($|a|=1$) que contiene el eje de revolución; entonces:
$$\mathcal{S} (E_f) =\omega_{N-1} \int_{0}^{+\infty} f^{N-1}(t)\ \text{d} t\; ,$$
y también de $\mathcal{S} (E_f)$ es finito iff $f\in L^{N-1} (E_f)$.
Dado que $f$ es definida en el intervalo $[0,+\infty[$, uno en general no tiene $f\in L^{N}\Rightarrow f\en L^{N-1}$ no, incluso si $f$ es de Lipschitz (por ejemplo, $f(x):=\chi_{[0,1[}(x)+x^{1-N}\chi_{[1,+\infty[} (x)$ es $L^N$, pero no $L^{N-1}$): por lo tanto, en general, siempre es posible elegir una de Lipschitz de la función $f$ tal que $\mathcal{L}^{N+1} (E_f)$ es finito y $\mathcal{P} (E_f)$, $\mathcal{S} (E_f)$ no lo son.
N. B.: en Lugar de la De Giorgi perímetro, se puede utilizar la medida de Hausdorff de $\mathcal{H}^{N}$ o el contenido de Minkowski de $\mathcal{M}$, así: en realidad, no hay igualdad entre $\mathcal{P} (E_f)$, $\mathcal{H}^{N} (E_f)$ y $\mathcal{M} (E_f)$ porque el límite de $\partial E_f$ es lo suficientemente regular cuando $f$ es de Lipschitz.