¿Cómo puede una estructura de longitud infinita e infinita superficie, pero tienen finito de volumen?

Question

Considere la curva de $\frac{1}{x}$ donde $x \geq 1$. Girar la curva alrededor del eje x.

Una Dimensión Claramente esta estructura es infinitamente larga.

Dos Dimensiones - Área de la Superficie = $2\pi\int_∞^1\frac{1}{x}dx = 2\pi\ln ∞ - \ln 1) = ∞$

Tres Dimensiones - Volumen = $\pi\int_∞^1{x}^{-2}dx = \pi(-\frac{1}{∞} + \frac{1}{1}) = \pi$

Así que esta estructura tiene longitud infinita e infinita superficie. Sin embargo, se ha finito de volumen, que simplemente no tiene sentido.

Aún más interesante, los "muros" de esta estructura son infinitamente delgada. Dado que el volumen es finito, podríamos llenar esta estructura con una cantidad finita de pintura. Para rellenar la estructura de la pintura tendría que cubra toda la superficie de la parte interior de esta estructura. Desde las "paredes" son infinitamente delgada, ¿por qué una cantidad finita de pintura no ser capaz de cubrir el exterior de las "paredes" también?

Por favor me ayudan a dar sentido a todo esto.

Answer 1

Parece que ya han dado sentido a todo esto desde un punto de vista matemático (que tiene una infinidad de área de superficie y volumen finito-no hay ninguna contradicción aquí). La paradoja es que el infinito, a veces, no coincide con nuestro día a día las experiencias.

He aquí un ejemplo relacionado (y con suerte un poco más fácil a la imagen): Tomar una unidad cuadrada. Cortar por la mitad verticalmente por la mitad-formando dos piezas. El área claramente sigue siendo el mismo, pero el perímetro total (contando las dos piezas) ha aumentado en 2. Mantenga el corte más a la derecha de la pieza verticalmente por la mitad para siempre. La zona permanece invariable a lo largo, mientras que el perímetro es de $4+\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n 2=\infty$.

Ahora, si usted quería hacer que se vea más como un cuerno, que podría mover las piezas en torno, por ejemplo:

que todavía tiene en el área 1 y el perímetro infinito. Si usted quería hacer subir el volumen 1 y el área de superficie de borde infinito, reemplace la "plaza" con "cubo".

Answer 2

Las matemáticas ya se ha explicado, cuando la matemática se contradice con su intuición la respuesta es ignorar su antigua intuición y encontrar nuevas intuición.

Como para la física, de Gabriel horn es en ningún sentido una física realista del objeto. Una manera de resumir la lección aquí es que la suposición de que muy fino de los objetos tiene espesor cero sólo es razonable si esto causa una cantidad razonable de error en los cálculos, sino en la construcción de Gabriel horn el espesor de la membrana llega a dominar el cálculo y no es ningún sentido razonable ignorar este error. En cualquier momento que un modelo matemático no reflejan con exactitud la realidad uno debe cuestionar los supuestos que entran en la construcción de ese modelo, y en la medida en que este es un modelo matemático de nada, la suposición de que espesor es despreciable es el que debe ser descartada. Si intenta repetir la construcción de Gabriel cuerno con un límite finito de espesor, por supuesto, encontrar que el objeto resultante tiene una infinidad de volumen.

Answer 3

La respuesta a la pintura pregunta es la siguiente:

Para definir los términos, digamos que usted está rodando sobre la $x$ eje y el volumen se encuentra entre la superficie y el $y-z$ avión. Si tomamos un pequeño (pero finito) revisión de la $y-z$ avión de $\Delta$ área, la zona de arriba es de aproximadamente $\Delta$ $\sqrt{y^2 + z^2} \rightarrow \infty$, y el volumen es de aproximadamente $\frac{\Delta}{\sqrt{y^2 + z^2}}$. Así que a medida que nos alejamos de la $x$ eje, el atrapado aumenta el volumen a cero, pero la superficie no.

Ahora, de vuelta a la pintura analogía. Se tarda infinito pintura, ya que un volumen fijo de pintura cubre una superficie firme área (por ejemplo, un galón / 400 sq.ft.). Esto es cierto incluso como $\sqrt{y^2 + z^2} \rightarrow \infty$, por lo que nos vemos obligados a pintar una superficie equivalente a la de la $y-z$ avión. Ahora bien, si hemos tratado de llenar el volumen con la pintura, ya no estamos obligados a cubrir a una determinada tasa de 1 gal. / 400 sq.ft. En otras palabras, a nuestros espesor de la película es $\frac{1}{\sqrt{y^2 + z^2}}$, que tiende a cero.

Así que en resumen, su suposición con respecto a los muros de ser infinitamente delgada es cierto, pero a relacionar el área de superficie y volumen utilizando la metáfora de la pintura. La pintura siempre tiene un número finito de la tasa de cobertura no importa lo delgado de la película. Esta película no consigue diluyendo a medida que nos alejamos de la $x$ eje. El volumen entre la curva y el $y-z$ avión, pero no.

Answer 4

Me gustaría añadir algo a la discusión anterior.

Deje que $f:]0,+\infty[ \a [0,+\infty[$ una función medible, $N\in \mathbb{N}$, $x\in \mathbb{R}^N$ y $t\in \mathbb{R}$. Consideremos el conjunto:

$$E_f:=\{ (x,t)\in \mathbb{R}^{N+1}:\ |x|\leq |f(t)|\}$$

que es el cuerpo de revolución generado por $f$ con respecto a los $t$ eje en $\mathbb{R}^{N+1}$. Usando coordenadas cilíndricas, se encuentra para la medida de Lebesgue de $\mathcal{L}^{N+1}(E_f)$ el siguiente expresión:

$$\mathcal{L}^{N+1} (E_f)=\omega_N \int_0^{+\infty} f^N (t)\ \text{d} t\; ,$$

donde $\omega_N$ es el volumen de la unidad de la bola en $\mathbb{R}^N$ (es decir, $\omega_N:=\pi^{\frac{N}{2}}/ \Gamma (\frac{N}{2} +1)$), por lo tanto $\mathcal{L}^{N+1}(E_f)=\omega_N \| f\|_{L^N}^N$ y $\mathcal{L}^{N+1} (E_f)$ es finito iff $f\in L^N(]0,+\infty[)$.

Por otro lado, si $f$ es también de Lipschitz continua, es fácil calcular el área de la superficie (o De Giorgi perímetro) $\mathcal{P} (E_f)$ de $E_f$: usando coordenadas cilíndricas se encuentra:

$$\mathcal{P} (E_f)=N\omega_N \int_0^{+\infty} f^{N-1}(t)\ \sqrt{1+|f^\prime (t)|^2} \text{d} t\; ,$$

por lo tanto:

$$N\omega_N \| f\|_{L^{N-1}}^{N-1} \leq \mathcal{P} (E_f) \leq N\omega_N\sqrt{1+\| f^\prime \|_{L^\infty}^2}\ \| f\|_{L^{N-1}}^{N-1}$$

y $\mathcal{P} (E_f)$ es finito iff $\| f\|_{L^{N-1}}^{N-1}$.

Deje que $\mathcal{S} (E_f)$ ser la medida de las secciones de $E_f$ obtiene cortando el juego con cualquier hyperplane $\Pi:=\{ (x,t)|\ \langle a,x\rangle =0\}$ ($|a|=1$) que contiene el eje de revolución; entonces:

$$\mathcal{S} (E_f) =\omega_{N-1} \int_{0}^{+\infty} f^{N-1}(t)\ \text{d} t\; ,$$

y también de $\mathcal{S} (E_f)$ es finito iff $f\in L^{N-1} (E_f)$.

Dado que $f$ es definida en el intervalo $[0,+\infty[$, uno en general no tiene $f\in L^{N}\Rightarrow f\en L^{N-1}$ no, incluso si $f$ es de Lipschitz (por ejemplo, $f(x):=\chi_{[0,1[}(x)+x^{1-N}\chi_{[1,+\infty[} (x)$ es $L^N$, pero no $L^{N-1}$): por lo tanto, en general, siempre es posible elegir una de Lipschitz de la función $f$ tal que $\mathcal{L}^{N+1} (E_f)$ es finito y $\mathcal{P} (E_f)$, $\mathcal{S} (E_f)$ no lo son.

N. B.: en Lugar de la De Giorgi perímetro, se puede utilizar la medida de Hausdorff de $\mathcal{H}^{N}$ o el contenido de Minkowski de $\mathcal{M}$, así: en realidad, no hay igualdad entre $\mathcal{P} (E_f)$, $\mathcal{H}^{N} (E_f)$ y $\mathcal{M} (E_f)$ porque el límite de $\partial E_f$ es lo suficientemente regular cuando $f$ es de Lipschitz.

Answer 5

He encontrado esta explicación esclarecedora. Es de Jerome Keisler del Elementales de Cálculo.

Suponga que tiene un cilindro de arcilla con radio 1 y longitud 1. Su área de sección transversal es de $\pi$, por lo que su volumen total es de $\pi$. El área de la superficie, sin contar a los extremos, es de $2\pi$.

Ahora rodar el cilindro con sus manos lo que es sólo la mitad de grueso que era. Su radio es ahora de $\frac12$, por lo que su área de sección transversal es de sólo $\frac14\pi$. El volumen debe ser el mismo, por lo que el cilindro de longitud de ahora es de $4 dólares, y su superficie, de nuevo sin contar los extremos, se ha doblado, pasando de$4\pi$.

Puede repetir este proceso, rodando en una serpiente con radio $\frac14$. Su longitud aumenta a $16$, y su superficie se duplica a $8\pi$.

En cada paso a medida que avanza el cilindro en una más delgada y más delgada de la serpiente, el volumen permanece siempre constante, pero la superficie aumenta sin límite. Una serpiente con un radio de $r$ tiene una longitud de $\frac1{r^2}$ y con una superficie de $\frac{2\pi}r$, ambos de los cuales van al infinito como $r$ va a cero. Nada de esto debería sorprender.

Ahora, en lugar de rodar el conjunto de la serpiente, acaba de rodar la mitad derecha de la serpiente en cada paso. El volumen sigue siendo constante, como debe de ser, y el área de la superficie todavía va al infinito. La forma que se obtiene es muy similar a la de Gabriel horn.