Cociente del plano hiperbólico con respecto al grupo de conmutadores de$\pi_1(\Sigma_g)$

Question

Sea$\Sigma_g$ una superficie de Riemann del género$g\geq 2$ y$G=\pi_1(\Sigma_g)$. Sea$\pi\colon \mathbb{H}\to \Sigma_g$ el mapa de cobertura universal. ¿Qué tipo de superficie es$\mathbb{H}/[G,G]$?

Además, ¿qué es$[G,G]$; por ejemplo, si$g=2$?

Answer 1

Considere el mapa de Abel-Jacobi$\mu : \Sigma_g \to J(\Sigma_g )=\mathbb{C}^g/\Lambda$. Luego tome el incremento$\widetilde{\mu}: \mathbb{H} \to \mathbb{C}^g$ de la cobertura universal$\mathbb{H}$ de$\Sigma_g$. Me parece que la imagen$X := \widetilde{\mu}(\mathbb{H})$ es la superficie$\mathbb{H}/[G,G]$.