Principio de local a global para grupos reductores

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo reductor sobre un campo numérico algebraico $k$ . Denote con $k_v$ un campo local y con $A$ el anillo de sus adelantos, que $G_k$ , $G_{k_v}$ resp. $G_A$ sea el grupo de sus $k$ - resp. $A$ - puntos. ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para una representación local $\pi_v$ de $G_{k_v}$ para aparecer como $\otimes_v$ $\pi_v$ en la representación regular derecha de $G_k \backslash G_A$ ? ¿Cuál es una buena referencia para estudiar este proceso de local a global?

Answer 1

Si $\pi_v$ es supercúspide, entonces (después de hacer un giro si es necesario) debería ser posible encontrar un automorfo $\pi$ con $\pi_v$ como factor local en $v$ . Este tipo de resultado suele demostrarse (aunque a veces hay otras posibilidades) mediante la aplicación de la fórmula de la traza simple. Este método también dará un buen control (aunque quizás no completo) de la ramificación en otros lugares. Si se mira el artículo de Deligne, Kazhdan y Vigneras sobre Jacquet--Langlands para $GL_n$ Creo que encontrarás una exposición de la técnica.

Si $\pi_v$ no es supercúspide (o si uno no está dispuesto a hacer un giro), entonces esto no es generalmente posible, sólo por razones de cardinalidad. El enlace que David Loeffler proporciona a la discusión del $GL_2$ caso es algo indicativo de la situación.

Answer 2

También hay un teorema de creo que Hakim (mis disculpas si no es el teorema de Jeff), generalizado por Prasad y Schulze-Pillot, que permite globalizar representaciones distinguidas con respecto a un subgrupo. Este utiliza una simple fórmula de traza relativa.

Answer 3

Además, si $\pi_v$ es cuadrado-integrable y $G=Sp$ o $SO$ Arthur lo demuestra en su próximo libro. Ver mi respuesta a la pregunta incrustación de la representación local en la representación automórfica