Dejemos que $k$ sea un campo y $s$ y $t$ sean variables. ¿Es el anillo $k[s][[t]]$ integralmente cerrado en $k[s,s^{-1}][[t]]$ ?
Respuesta
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Will Sawin
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No. Deja que $\ell$ sea un primo invertible en $k$ y considerar
$$x= s (1+ t/s)^{1/\ell} = s + \frac{t }{\ell} - \frac{(\ell-1) t^2}{ 2s \ell^2} + \frac{ (\ell-1) (2\ell-1) t^3}{ 6 s^2 \ell^3} + \dots \in k[s,s^{-1}][[t]] $$
Está claro que no reside en $k[s][[t]]$ . Pero tenemos $$x^\ell = s^{\ell} (1+t/s) = s^\ell + s^{\ell-1} t$$ por lo que satisface una ecuación polinómica mónica sobre $k[s][[t]]$ (e incluso $k[s,t]$ ).
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Bienvenido el nuevo colaborador. Todo anillo en serie de potencias sobre un anillo noetheriano regular es un anillo noetheriano regular. Todo anillo noetheriano regular es normal.
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@JasonStarr Pero normal significa integralmente cerrado en su campo de fracciones, que no se está preguntando.
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@WillSawin. He leído la pregunta en el título del post. Veo que el OP hace una pregunta diferente en su post que está en el título de su post.
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Gracias por la respuesta. Lamento que el título haya sido engañoso.
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@JasonStarr ¡Es justo!