¿Es el anillo formal de series de potencia integralmente cerrado?

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y $s$ y $t$ sean variables. ¿Es el anillo $k[s][[t]]$ integralmente cerrado en $k[s,s^{-1}][[t]]$ ?

Answer 1

No. Deja que $\ell$ sea un primo invertible en $k$ y considerar

$$x= s (1+ t/s)^{1/\ell} = s + \frac{t }{\ell} - \frac{(\ell-1) t^2}{ 2s \ell^2} + \frac{ (\ell-1) (2\ell-1) t^3}{ 6 s^2 \ell^3} + \dots \in k[s,s^{-1}][[t]]$$

Está claro que no reside en $k[s][[t]]$ . Pero tenemos $$x^\ell = s^{\ell} (1+t/s) = s^\ell + s^{\ell-1} t$$ por lo que satisface una ecuación polinómica mónica sobre $k[s][[t]]$ (e incluso $k[s,t]$ ).