Asumiendo AD, ¿es todo cardinal infinito cerrado bajo conjunto de potencia en un modelo de elección?

Question

Asumir AD+DC. Supongamos que $\kappa$ es un cardinal infinito y $N$ es un modelo (conjunto o clase) transitivo de ZFC que contiene $\kappa$ .

¿Es cierto que para todos los $\alpha<\kappa$ , $N$ piensa que el conjunto de potencia de $\alpha$ tiene un tamaño inferior a $\kappa$ ?

Esto parece obvio, al menos para $\kappa<\Theta$ pero aún no encuentro una referencia o una idea.

Answer 1

Algunas respuestas parciales:

(1) Bajo el (posible) supuesto adicional de $\mathsf{AD}^+$ podemos demostrar la conclusión más débil de que $\alpha^{+N} < \alpha^+$ para todo ordinal infinito $\alpha < \Theta$ :

• Supongamos, para evitar una contradicción, que $\alpha^{+N} = \alpha^+$ y utilizar $\mathsf{AC}$ en $N$ para tomar una secuencia de funciones $(f_\xi : \xi < \alpha^+)$ tal que cada función $f_\xi$ es una suryección de $\alpha$ en $\xi$ . Esto demuestra que $\alpha^+$ es regular en $V$ ; de lo contrario, podríamos combinar cofinalmente muchas de estas suryecciones para obtener una suryección de $\alpha \times \alpha$ a $\alpha^+$ una contradicción.

• Por un teorema de Woodin todo cardinal regular incontable menor que $\Theta$ es medible (como dicen Koellner y Woodin, Grandes cardenales de la determinación , p. 12,) por lo que $\alpha^+$ es medible. Pero entonces podemos tomar una ultrapotencia de la secuencia $(f_\xi : \xi < \alpha^+)$ para obtener de nuevo una suryección de $\alpha$ a $\alpha^+$ una contradicción.

(2) Bajo el supuesto más fuerte de $\mathsf{AD} + V = L(\mathbb{R})$ tenemos $(2^\alpha)^N < \alpha^+$ para todo ordinal infinito $\alpha < \Theta$ lo que implica la conclusión deseada. Esto se deduce directamente de Steel, Un esbozo de la teoría del modelo interno El teorema 8.26, que dice que para todo cardinal infinito $\alpha < \Theta$ toda familia bien ordenada de subconjuntos de $\alpha$ tiene como máximo la cardinalidad $\alpha$ . Steel denomina a este resultado el "negrito $\mathsf{GCH}$ para $L(\mathbb{R})$ " y lo prueba desde $\mathsf{GCH}$ en $\text{HOD}_x$ donde $x$ es un real, que puede entenderse como un modelo de estructura fina.

Obsérvese que el teorema de que todo cardinal regular incontable menor que $\Theta$ es medible se demostró por primera vez bajo la hipótesis $\mathsf{AD} + V = L(\mathbb{R})$ también utilizando la estructura fina (véase Steel, Teorema 8.27) antes de ser generalizada a la $\mathsf{AD}^+$ de Woodin. No sé si debemos esperar una generalización similar de la negrita $\mathsf{GCH}$ .

(3) Para los cardenales $\kappa = \alpha^+ > \Theta$ incluso la declaración más débil $\alpha^{+N} < \alpha^+$ puede fallar. Considere el caso de que $V = L(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ , $\mathsf{AD}^+ + \mathsf{AD}_\mathbb{R}$ se mantiene, y $N = \text{HOD}$ . Podemos añadir $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ volver a $\text{HOD}$ por un forzamiento de tipo Vopenka de cardinalidad $\Theta$ Este argumento se debe a Woodin y se recoge en la sección 4.3.4.2 de la obra de Nam Trang tesis . Este forzamiento no colapsa los cardenales por encima de $\Theta$ Así que $\alpha^{+N} = \alpha^+ = \kappa$ .