¿Implica que una inclusión de coset izquierda en un coset derecho implique que sean iguales?

Question

Deje que %-%-% sea un subgrupo de un grupo %-%-% y %-%-% sea un elemento de %-%-%.

Si %-%-% es finito, %-%-% implica %-%-% desde %-%-% y %-%-% tienen la misma cardinalidad finita (la de %-%-%).

¿Qué sucede cuando %-%-% y %-%-% son infinitos? ¿Se puede incluir estrictamente un coset izquierdo en un coset derecho?

Answer 1

En el grupo libre en dos generadores %-%-%, si tomamos %-%-% como el subgrupo generado por los elementos de la forma %-%-% para %-%-%, entonces %-%-%% está estrictamente contenido en %-%-% porque %-%-%.

Answer 2

Considere los grupos %-%-% y %-%-% %-%-% sea la asignación en la que %-%-%. Entonces % %-% es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, podemos definir el producto semidirecto %-%%dejando que %-%-% y en el que %-%-%. A continuación, %-%-% es un subgrupo del grupo %-%-%. Por otro lado, %-%-% haciendo %-%-% un subgrupo adecuado de %-%-%