Ejemplo de un anillo que no tiene nada que ver con los números

Question

¿Cuál es un ejemplo de anillo que no tiene nada que ver con los números? Por ejemplo, para los grupos, tenemos los grupos diedros, los cuaterniones, etc.

Me falta el análogo de la característica de un anillo, cuando el anillo no está relacionado con números (complejos, reales, enteros,...).

Parte de la razón por la que quiero este ejemplo es porque quiero ver si la característica de un anillo debe ser un elemento del propio anillo.

Answer 1

Dejemos que $S$ sea un conjunto cualquiera. Podemos convertir su conjunto de potencias $$P(S)=\{A\mid A\subseteq S\}$$ en un anillo definiendo la suma $$ A+B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A) $$ y el producto $$ A\cdot B:=A\cap B. $$ El conjunto vacío es el elemento cero de este anillo, y el conjunto completo $S$ desempeña el papel de elemento neutro multiplicativo. Dejamos que verifiques todos los axiomas del anillo.

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Este anillo es isomorfo al anillo de funciones $f:S\to\Bbb{Z}_2$ con la suma y el producto definidos puntualmente. Elegí escribirlo como arriba, porque entonces no hay números presentes (como se pide en el título).

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Claramente el anillo $(P(S),+,\cdot,\emptyset,S)$ tiene la característica dos.

Answer 2

Parte de por qué quiero este ejemplo, es porque quiero ver si la característica de un anillo debe ser un elemento del propio anillo.

No es muy sensato pensar que la característica de un anillo sea un elemento del mismo, aunque lo sea literalmente.

La característica es una especie de "dimensión" en el anillo, que tiene un valor en los números naturales.

Es como preguntar si la dimensión de un espacio vectorial puede ser un elemento del espacio vectorial o no.

Ahora, casualmente la característica de $\mathbb Z$ es sur $\mathbb Z$ si quieres $\mathbb N$ siendo un subconjunto de $\mathbb Z$ pero la observación no es realmente útil.

Lo más cerca que se puede llegar a poner la característica "en" el anillo es si el anillo tiene identidad para poder ver la imagen homomórfica de $\mathbb Z$ dentro de su anillo. Pero incluso entonces, la característica siempre se asigna a la $0$ elemento de su anillo, por lo que no se consigue nada.

¿Pero un ejemplo?

No sé, ¿puedes pensar en un grupo abeliano $G$ que no involucra números? Si es así, el anillo de endomorfismo $End(G_\mathbb Z)$ es un anillo que aparentemente no implica números.