Encuentra dos números reales positivos, cuya diferencia es 100 y cuyo producto es un mínimo

Question

En primer lugar, este es un problema de optimización de cálculo de una sola variable. A primera vista, el problema parecía extremadamente trivial, sin embargo la solución al mismo parece ser engañosamente difícil (al menos para mí en este momento).

Problema: Encuentra dos números positivos cuya diferencia es $100$ y cuyo producto es un mínimo

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Mi Intento de Solución :

Supongamos, $a, b \in \mathbb {R^+}$ , $b < a$

Primero establecimos una ecuación para la diferencia de $a, b$ He usado valores absolutos para restringir $a,b$ a los valores $ \geq 0$ $$|a| - |b| = 100$$ $$ \implies |a| = 100 + |b|$$

A continuación establecemos una ecuación para el producto de $a, b$

$$(|a|)(|b|) = b^2 + 100|b| \ \ \ \ $$

Definir una función $f$ para minimizar el producto de $a , b$ :

$$f(b) = b^2 + 100|b|$$ $$ \implies f'(b) = \begin {cases} 2b +100, \ \ \ \text {if} \ \ b \geq 0 \ \ \ \ (1) \\ 2b - 100, \ \ \ \text {if} \ \ b < 0 \ \ \ \ (2) \\ \end {cases} $$

Resolviendo para $f'(b) =0$ con el caso $(1)$ rinde $b = -50$ una contradicción inmediata. Resolver para $f'(b) =0$ con el caso $(2)$ da $b=50$ , $a=150$ . Aunque esa es una solución válida ( Como se ha señalado correctamente en una respuesta a continuación, esto también es una contradicción ), no son los valores mínimos.

Los valores correctos, sólo pensarlo debería ser, $a = 100$ , $b = 0$ . Sin embargo, al tratar de minimizarlo, usando las ecuaciones que establecí, no dan la solución correcta. ¿Por qué es así? . No parece que haya cometido ningún error hasta donde puedo decir.

Answer 1

Si el mínimo de una función se encuentra en el frontera de la región de los parámetros, entonces la simple diferenciación no funcionará. También debe comprobar los límites, que en este caso incluye la solución (verdadera) $(0,100)$ .

Una ilustración trivial: Encontrar el valor mínimo de $f(x) = x$ para $x \ge 0$ . La diferenciación no ayuda a encontrar la solución en $x = 0$ .

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $b > a$ así que $a + 100 = b$ .

El producto es $ab = a(a+100) = a^2 + 100a$ .

Para encontrar un extremo debemos resolver $f(x) = x^2 + 100x$ $f'(x) = 0$ .

Es decir $2x + 100 = 0$ así que $x = -50$ es el único extremo.

Para ver qué tipo de extremo es debemos evaluar $f''(x)$ está en $x = -50$ . $f''(x) = 2$ así que $f''(50) = 2 > 0$ . $x = 50$ it es un mínimo.

Así que $b = 50$ y $a = -50$ es el producto mínimo. Pero eso no es positivo.

Tenemos que encontrar el producto mínimo positivo. Si $0 < x$ entonces $f'(x) > 2*0 + 100$ por lo que el producto aumenta.

Así que el producto mínimo se produce en $a = \min (0, \infty)$ y $b = \min (100, \infty)$ .

Pero .... no hay tales números reales.

Lo cual... no es un problema. Caíste en el truco más viejo del libro, uno en el que todos los matemáticos que he conocido han caído una o dos veces, que sólo porque un problema podría pregunte a para algo, eso no significa que la cosa exista.

Ahora bien, si hubieran sido dos números reales no negativos la pregunta hubiera sido válida, pero no lo era y no lo es.

Answer 3

El mínimo no existe. Existe una secuencia minimizadora: $$ (a_n,b_n)=(1/n,100+1/n) $$

Answer 4

Si se trata de encontrar un óptimo, primero hay que comprobar que existe. En este caso, no existe: como $b$ se acerca cada vez más a $0$ desde arriba, $b(100+b)$ se acerca cada vez más a $0$ desde arriba.

Answer 5

Para responder a la pregunta ¿Por qué es así? , allí es un error. Tu caso (1) produce una contradicción inmediata, como has señalado, pero también lo hace tu caso (2). El resultado es $b=50$ lo que viola su suposición de que $b<0$ . Así que sus ecuaciones sí llevan a la conclusión de que el mínimo no puede ocurrir donde $f'(b)=0$ .