forma k: suma de productos de cuña de formas 1?

Question

Sea M una variedad suave. ¿Se puede escribir cada forma k$\omega$ en M como una suma de formas k, que son productos de cuña de formas 1, es decir,$\omega = \sum_{i=0}^n \alpha_1^{(i)} \wedge \ldots \wedge \alpha_k^{(i)}$, donde$\alpha_l^{(i)} \in \Omega^1(M)$? Si M es compacto, uno puede cubrir M con un número finito de gráficos y usar una partición de unidad para ver que esto se cumple ... pero ¿qué pasa con el caso general?

Answer 1

La respuesta es sí y necesitas transversalidad de alguna forma. Aquí usamos el teorema de incrustación de Whitneys, pero una declaración más débil sería suficiente. Insertar$M \subset \mathbb{R}^m$. Por lo tanto, hay un monomorfismo$TM \to M \times \mathbb{R}^m$ de paquetes de vectores, dualizándose a un epimorfismo$M \times \mathbb{R}^m \to T^{\ast} M$. Sean$a_1,\ldots ,a_m$ las imágenes de los vectores base. Puede escribir cualquier$k$ - formulario en$M$ como una combinación lineal con$C^{\infty} (M)$ - coeficientes de los formularios$a_{i_1} \wedge \ldots a_{i_k}$. Hecho.

Answer 2

El mismo argumento que en el caso de comapct funciona si usa además el teorema de Ostrand sobre la dimensión coloreada