¿Los valores propios complejos de los sistemas planares con una matriz de valor real tienen siempre vectores propios de valor complejo?

Question

Lo siento si esta es una pregunta tonta, pero estaba haciendo algunos deberes y me di cuenta de que cada vez que resolvía un sistema planar que tenía valores propios complejos, siempre terminaba con vectores propios complejos. Me preguntaba si alguna vez podría de alguna manera obtener un eigenvector totalmente real a partir de un eigenvalor complejo.

Answer 1

La respuesta corta es no. Supongamos que $A$ es una matriz real con un valor propio complejo $\lambda$ y un vector propio real asociado (distinto de cero) $v$ . Entonces por la definición de vector propio, $Av = \lambda v$ . Así que $\lambda v$ debe ser complejo, ya que $v$ tiene entradas reales pero $\lambda$ no es real; por otra parte, $Av$ debe ser real ya que tanto $A$ y $v$ tienen entradas reales por suposición.

Esto es imposible. Ahora podemos decir que si $A$ es una matriz real con un valor propio complejo, entonces cualquier vector propio asociado no puede tener sólo entradas reales.