¿La ley fuerte de Gran Número se mantiene para un movimiento Browniano de dimensiones infinitas?

Question

Para el movimiento Browniano de dimensiones finitas %-%-%, es bien sabido que \begin{equation} \lim_{t\to \infty}\frac{W_t}{t}=0,\text{ a.s. }\ \ \ \ \hspace{1cm} \langle 1\rangle \endecuación

Ahora supongamos que se nos da un movimiento Browniano valorado $W_t$%$en los casos en que %-%-% es el dominio delimitado en %-%-%, %-%-% forma la base ortogonal completa de %-%-%, %-%-% son BM unidimensionales mutuamente independientes, y %-%-% satisface$L^2(\mathcal{D})$$

Me pregunto , %-%%% todavía se mantiene para el BM de dimensiones infinitas introducido anteriormente?

Answer 1

Se puede ver mucho más fácil mediante el uso del teorema ergodica subadditiva, que es una herramienta estándar para tratar con la ley de grandes números.

Dado que el segundo momento de %-%-% es obviamente finito (esto es precisamente la suma de %-%-%), su primer momento también es finito, de modo que el teorema ergódico subadditivo implica que existe un %-%% constante, de modo que %-%-% a.e. y en %-%-%. En particular, %-%-% en probabilidad. Por otro lado, %-%-% crece linealmente, de modo que %-%-%.