Aquí están algunas ideas sobre la conjetura de que puede conducir a la sospecha de que es cierto. Esto no es una prueba de que es cierto.
Queremos saber si
$$ \left\lfloor \log_{10} n! \right\rfloor = \left\lfloor \log_{10} \lfloor f(n) \rfloor \right\rfloor$$
es cierto para todos los $n > 1.$
Se nota que este NO sería verdad si el intervalo de
$I_n = ( \log_{10} n!,\log_{10} \lfloor f(n) \rfloor)$ contiene un entero, pero es cierto lo contrario.
Veamos, por tanto, la longitud de $I_n.$
Desde el Stirling serie hemos
$$\frac{1}{\log_{e}10} \left( \frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} \right) <
\log_{10} n! - \log_{10} f(n) <
\frac{1}{\log_{e}10} \frac{1}{12n}.$$
Y así, tomando la parte entera de la $f(n)$ hemos
$$\frac{1}{\log_{e}10} \left( \frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} \right) <
\log_{10} n! - \log_{10} \lfloor f(n) \rfloor <
\frac{1}{\log_{e}10} \left( \frac{1}{12n} + \frac{1}{ \lfloor f(n) \rfloor } \right),$$
donde para lograr la RHS se nota que
$$ \log_{10} f(n) - \log_{10} \lfloor f(n) \rfloor < \frac{1}{ \lfloor f(n) \rfloor \log_e 10 }.$$
Por lo tanto
$$\text{Longitud}(I_n) < \frac{1}{\log_{e}10} \left( \frac{1}{360n^3} +
\frac{1}{ \lfloor f(n) \rfloor } \right).$$
Podemos comprobar que la hipótesis se cumple para $n=2,3,\ldots,10,$, por lo que sumando el resto de las longitudes de las $I_n$ hemos
$$\sum_{n=11}^\infty \text{Longitud}(I_n) < \frac{1}{360 \log_e 10}
\left( \sum_{n=11}^\infty \frac{1}{n^3} + \sum_{n=11}^\infty \frac{1}{ \lfloor f(n) \rfloor } \right).$$
Ahora$ \lfloor f(n) \rfloor \ge (n-1)! $, por lo que, haciendo algunos cálculos (en sustitución de la
$ \lfloor f(n) \rfloor $ en la RHS por $ (n-1)! $ , tenemos
$$\sum_{n=11}^\infty \text{Longitud}(I_n) < \frac{1}{360 \log_e 10}
\left( 0.00452492 + 0.00000030 \right) < 5.5 \times 10^{-6}.$$
Por lo tanto la probabilidad de que un entero cae en cualquiera de los intervalos es muy pequeña.
