¿Existe un nombre estándar para las matrices (no cuadradas) con columnas ortonormales?

Question

Uno se encuentra a menudo en las matrices numéricas no cuadradas con columnas ortonormales, es decir, $U\in\mathbb{R}^{m\times n}$ con $m > n$ , de tal manera que $U^TU=I$ (pero, claramente, $UU^T \neq I$ ).

¿Existe un nombre para estas matrices?

Answer 1

Ortonormal $\boldsymbol n$ -marca :   https://en.wikipedia.org/wiki/Stiefel_manifold .

Añadido: Esta terminología de Hirzebruch ( 1966 ), Steenrod ( 1951 ) traduce el $\boldsymbol n$ -Sistema de Stiefel ( 1936 ), $\boldsymbol n$ -podes , $\boldsymbol n$ -pèdes o multipèdes de Einstein ( 1931 ), Waelsch ( 1907 ), $\boldsymbol n$ -Beine o Vielbeine de Hirzebruch ( 1956 ), Einstein ( 1928 ), Blaschke ( 1920 ), o Waelsch ( 1906 ).

Answer 2

François Ziegler ya ha dado una respuesta muy pertinente.

Permítanme señalar otras tres cosas relevantes:

1. Aunque el PO no está expresamente interesado en matrices con entradas enteras, un artículo muy relevante es, sin embargo W. Plesken: Resolver $XX^{\mathrm{tr}}=A$ Sobre los números enteros. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Volúmenes 226-228, septiembre-octubre 1995, Páginas 331-344 . De este modo, en particular, se demuestra que (sea $A=I$ y $X=U^{\mathrm{t}}$ ) que en el contexto del PO

$U^{\mathrm{t}}U = I\quad$ ${}\quad$ sólo si ${}\qquad\qquad$ $(U U^{\mathrm{t}})^2 = U U^{\mathrm{t}}$ $\quad$ y $\quad$ $\mathrm{tr}( UU^{\mathrm{t}})=n$

$\color{white}{( U^{\mathrm{t}}U = I )}{}\quad$ sólo si ${}\qquad\qquad$ $UU^{\mathrm{t}}$ es idempotente y tiene su traza igual a su rango

$\color{white}{( U^{\mathrm{t}}U = I )}{}\quad $ sólo si ${}\qquad\qquad$ $UU^{\mathrm{t}}$ es idempotente,

donde la primera equivalencia se cumple por la Proposición 2.2 en loc. cit., la penúltima se cumple por una mera reformulación de la equivalencia mencionada en primer lugar (nótese que las hipótesis de la OP implican que $U U^{\mathrm{t}}$ tiene rango $n$ ), y el último paso es un hecho del álgebra lineal ampliamente conocido y no tan obvio (toda matriz idempotente tiene su traza igual a su rango).

Así lo hemos demostrado:

Las matrices de la OP son precisamente aquellas $U\in\mathbb{R}^{m\times n}$ para lo cual $UU^T$ es un idempotente en el anillo matricial $\mathrm{Mat}(m\times n;\mathbb{R})$ .

2. Además, en el contexto definido por el PO tenemos:

Si se cumplen las hipótesis de la OP, entonces el pseudoinverso de Moore-Penrose de $U$ es igual a la transposición de $U$ . Por el contrario, si $U$ es una matriz real cuyo pseudoinverso de Moore-Penrose es igual a su transpuesto, entonces la suma de los cuadrados de los menores de los rangos es igual a $1$ . 1

Prueba de 2. Por la fórmula habitual,

$U^+ = \biggl(\overline{U}^{\mathrm{t}}\cdot U\biggr)^{-1}\cdot \overline{U}^{\mathrm{t}}\qquad\qquad$ (0).

Suficiencia: Si se cumplen las hipótesis de la OP, entonces $\overline{U}^{\mathrm{t}}\cdot U = \mathrm{Id}$ y $\overline{U}^{\mathrm{t}} = U^{\mathrm{t}}$ por lo que (0) implica $U^+=U^{\mathrm{t}}$ .

Necesidad: Supongamos a la inversa que $U^+=U^{\mathrm{t}}$ . Entonces (0) implica que $U^{\mathrm{t}} = (U^{\mathrm{t}}U) U^{\mathrm{t}}$ . Esto implica $U^{\mathrm{t}}U = ((U^{\mathrm{t}}U) U^{\mathrm{t}})\cdot(U(U^{\mathrm{t}}U))$ $=$ (por asociatividad) $=$ $( U^{\mathrm{t}}U)^3$ por lo que, aplicando el homomorfismo $\det\colon \mathbb{R}^{m\times m}\to\mathbb{R}$ se deduce que, abreviando $d:=\mathrm{det}(U^{\mathrm{t}}U)$ tenemos $d = d^3$ . Dado que las hipótesis de la OP implican que $U^{\mathrm{t}}U\in\mathbb{R}^n$ tiene rango completo $n$ sabemos que $d\neq 0$ por lo que se deduce que $1=d^2$ y, por tanto $d\in\{-1,+1\}$ ; para más referencias,

$\det(U^{\mathrm{t}}U)\in\{-1,1\}\qquad\qquad (1)$ .

Por el Teorema de Cauchy-Binet se deduce de (1) que (en particular, dado que las sumas de cuadrados de números reales no son negativas)

$$1 = \sum_{S:\quad\textsf{$ n $-element subsets of $ m $}} \det( U|_{S\times n})^2 $$

Esto completa la prueba de 2.

1 _{No se trata de un "nombre", pero puede conducir al usuario a bibliografía útil.}