Desigualdad de EE.UU. MO 1980's

Question

Deje que <span class="math-container">%-%-%</span> sean números reales y <span class="math-container">%-%-%</span>

Demostrar: <span class="math-container">%-%-%</span>

La solución oficial usa cálculo, así que no puedo entenderlo. Espero que alguien tenga una "solución más simple" (para estudiantes de escuela media). Gracias.

Answer 1

Supongamos <span class="math-container">que %-%-%</span>, de lo contrario la desigualdad es fácil. Haga algunas reorganizaciones: <span class="math-container">\begin{align*}(1-x)(1-y)(1-z)\leq1-\sum\frac{x}{y+z+1}&=\sum\left(\frac{x}{x+y+z}-\frac{x}{y+z+1}\right) \ &= \frac{1}{x+y+z}\sum\frac{x(1-x)}{y+z+1} \end--</span> Multiplicar a través <span class="math-container">de %-%-%</span>, y mover todo a un lado da <span class="math-container">$x+y+z>0$$</span> Ahora es sólo AM-GM: <span class="math-container">$x+y+z>0$$</span> por lo <span class="math-container">tanto% -%-%</span>, lo que implica el resultado.