Es $$\sum_{r=1}^nrx^{r-1}$$ siempre irreducible (sobre los enteros)?
Por ejemplo, el polinomio $1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+7x^6$ es de la forma requerida. No tengo ni idea de cómo enfocar esto. Simplemente he experimentado con estos polinomios y hasta ahora parecen ser irreducibles para valores pequeños de $n$ .
Gracias por su ayuda.
En Mathematica V 12.0.0 esto se puede resolver:
Factor[Assuming[Element[n, Integers] && n > 0,
Sum[r x^(r - 1), {r, 1, n}]], Extension -> Automatic]
(1 - x^n - n x^n + n x^(1 + n))/(-1 + x)^2para los coeficientes en los enteros.
IrreduciblePolynomialQ[
Assuming[Element[n, Integers] && n > 0,
Sum[Inactivate[r x^(r - 1)], {r, 1, n}]], Extension -> Automatic](* True *)
para los coeficientes de los polinomios divisores en los racionales.
Sobre los complejos cada polinomio es reducible.
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Equivalente a si $(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1)/(x-1)^2$ es reducible.
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@TheSimpliFire lo siento, no veo por qué. ¿Te importaría explicarlo?
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$\sum rx^{r-1}=d/dx(\sum x^r)$ que es una serie geométrica que tiene una forma cerrada y entonces se puede utilizar la regla del cociente para diferenciar
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@TheSimpliFire Ah, muy interesante, ¡gracias!
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Si $n=p-1$ para algún número primo impar $p$ entonces el polinomio es un producto de dos factores de grado $\tfrac{n}{2}$ o es irreductible.
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@Servaes ¿tienes alguna prueba de eso?
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@A-levelStudent Pensé que sí, pero resulta que mi prueba sólo funciona cuando $2$ es una raíz primitiva mod $p$ . Se deduce de la reducción de mod $2$ y esta pregunta .
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@Servaes gracias por la solución parcial.
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Estudiante, ¿de dónde sacaste la pregunta?
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@WillJagy Se me ocurrió a mí, es algo que me interesa :)
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Para $n$ o $n\pm 1$ primo, juega con sage o magma, comprueba la irreductibilidad y si es así comprueba la ramificación, intentando encontrar algunos primos donde sea casi Eisenstein o casi ciclotómico?
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Esto parece ser un problema abierto. Véase el artículo "Classes of polynomials having only one non-cyclotomic irreducible factor" de Borisov et al, específicamente la conjetura 1 y el teorema 1. La referencia más reciente a este problema que he podido encontrar es de 2018, donde parece que no se conoce mucho más allá de los resultados de Borisov et al. Muestran que estos polinomios son asintóticamente irreducibles para casi todos los $n$ . Más concretamente, para cada $\epsilon > 0$ el número de valores $n\le t$ tal que $p_n$ es reducible es $O(t^{1/3+\epsilon})$ .
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@EuYu Deberías hacer de eso una respuesta.
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Esto se ha preguntado en el sitio algunas veces, ver ¿Son todas las derivadas de las progresiones geométricas irreducibles? , Familia de polinomios irreducibles , Explicar la prueba de irreducibilidad de $x^{p-1} + 2x^{p-2}+ \dots +(p-1)x + p$ . (algunos de los posts mencionan el polinomio recíproco que está bien ya que son irreducibles si y sólo si este polinomio es irreducible)