Prueba $\sin x$ es uniformemente continua en $\mathbb R$

Question

¿Cómo puedo demostrar $\sin x$ es uniformemente continua en $\mathbb R$ con delta y épsilon?

He demostrado geométricamente que $\sin x<x$ y así, $$|f(x_1)-f(x_2)|=|\sin x_1 - \sin x_2|\le|\sin x_1|+|\sin x_2|<|x_1|+|x_2|$$

Pero esto no me ayuda mucho a encontrar un delta...

Gracias por cualquier ayuda.

P.D. Sólo estoy al principio del cálculo, por lo que no puedo utilizar muchos teoremas y derivaciones (porque no han sido demostrados de forma regorosa).

Answer 1

Dejemos que $\epsilon>0$ y $x,y\in \mathbb{R}$ . Queremos $$\left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon\implies \left|\sin x-\sin y\right|<\epsilon\implies \left|2\cos\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2\right|$$ Porque $$\left|2\cos\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2\right|\le 2\left|\sin\frac{x-y}2\right|$$ es suficiente $$2\left|\sin\frac{x-y}2\right|<\epsilon$$ cuando $$\left|x-y\right|<\delta\implies \left|\frac{x-y}2\right|<\delta$$ Desde $\left|\sin x\right|\le \left|x\right|$ , $$2\left|\sin\frac{x-y}2\right|\le 2\left|\frac{x-y}2\right|<2\delta$$

Elegir $\delta=\frac{\epsilon}{2}>0$ hará el truco. Porque $\delta$ no depende de $x,y$ la continuidad es uniforme

Answer 2

Por el teorema del valor medio,

$$ |\sin{x}- \sin{y}| \leq |x-y| |\cos{\xi}| \leq |x-y|, \quad x\leq\xi \leq y.$$

Por lo tanto, puede elegir $\epsilon=\delta$ .

Answer 3

Desde $\sin x$ es una función continua periódica con un período $2\pi$ basta con demostrar que es uniformemente continua en $[0, 2\pi]$ . Desde $[0, 2\pi]$ es compacto, esto se deduce del conocido teorema.

Answer 4

Para impartir cierta cantidad de energía cinética a la pelota de tenis habrá que realizar un trabajo sobre ella. Ahora bien, trabajo realizado= Potencia x Tiempo. La diferencia entre golpear utilizando la red y golpear de lado es que, en el primer caso, se dispone de más tiempo de contacto con la pelota de tenis, por lo que se necesita una menor potencia media para realizar la cantidad de trabajo necesaria. Cuando se golpea de lado, el tiempo de contacto disponible es menor, por lo que para realizar cierta cantidad de trabajo, se necesita una potencia media mayor. Si la potencia requerida está por encima de tu capacidad, acabarás haciendo menos trabajo y, por lo tanto, se impartirá menos cantidad de energía cinética a la pelota. Por supuesto, no se puede hacer que la red sea demasiado floja pensando que así aumentará el tiempo de contacto y, por lo tanto, debe ser mejor, porque entonces la red perderá su "rigidez" (no estoy seguro de cuál es la palabra correcta aquí), su capacidad para hacer rebotar la pelota.