Necesito ejemplos de problemas que utilicen, directa o indirectamente, el homomorfismo $S_4\to S_3$ en la solución (su núcleo es $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$ ).
Candidatos obvios:
Resolvente de Lagrange (la reducción de las ecuaciones cuárticas a cúbicas).
Teorema de Tait sobre la equivalencia de la coloración 4 del mapa normal y la coloración 3 de sus aristas.
¿Tiene más ejemplos interesantes?
En la enseñanza de la geometría proyectiva utilizo esto o algo equivalente para demostrar que el cociente cruzado tiene como máximo 6 valores distintos (cuando los puntos están permutados) en lugar de los 24 que se esperan ingenuamente. Se trata de comprobar que los elementos del grupo 4 de Klein actúan de forma trivial sobre el cociente cruzado $R(A,B,C,D)$ .
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Construcción de la tabla de caracteres de $S_4$ ?