Por ser "infinitamente empinado" en un conjunto quiero decir que para cada punto $x$ en el conjunto tenemos $\sup\limits_{\delta>0}\text{ }\inf\limits_{y\in(x-\delta,\text{ }x+\delta)\backslash\{x\}}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\infty$ . Como observación, la función de Cantor es infinitamente empinada en el Conjunto de Cantor que es incontable, pero por supuesto tiene medida de Lebesgue $0$ .
Respuesta
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El Teorema de Denjoy-Young-Saks da el resultado más fuerte de que las derivadas inferiores izquierda y derecha sólo pueden ser $\infty$ en un conjunto nulo: definir $$D_-f(x):=\liminf_{y\to x^-} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$ $$D_+f(x):=\liminf_{y\to x^+} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$ entonces $\{x\mid D_-f(x)=\infty\}$ y $\{x\mid D_+f(x)=\infty\}$ son conjuntos nulos. El conjunto de $x$ tal que $\liminf_{y\to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\min(D_+f(x),D_-f(x))=\infty$ es, por tanto, un conjunto nulo.
He aquí un argumento recortado para su pregunta concreta. Para cada número entero $n\geq 1$ definir $$C_n=\{x\mid f(\lambda)\leq f(\mu)\text{ for all }\lambda\in(x-1/n,x)\text{ and }\mu\in(x,x+1/n)\}.$$ Cada $C_n$ es medible porque es un conjunto cerrado. Para cualquier real $q,$ la restricción de $f$ al conjunto $D_{n,q}$ de puntos de densidad de $C_n\cap (q,q+1/n)$ es no decreciente: entre dos puntos $\lambda<\mu$ en $D_{n,q}$ hay otro punto de densidad, que obliga a $f(\lambda)\leq f(\mu).$ Por tanto, esta restricción puede extenderse a una función no decreciente $g_{n,q}$ en el intervalo abierto $(\inf D_{n,q},\sup D_{n,q})$ : definir $g_{n,q}(x)=\sup\{f(y)\mid y\in (-\infty,x]\cap D_{n,q}\}.$ Desde $g_{n,q}$ es no decreciente es a.e. diferenciable. Siempre que $g_{n,q}'(x)$ existe y $x\in D_{n,q}$ tenemos $$\liminf_{y\to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \lim_{\substack{y\to x\\y\in D_{n,q}}}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=g_{n,q}'(x)<\infty\tag{1}$$
Dejemos que $S$ sea el conjunto de puntos con $\liminf_{y\to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\infty.$ Dado que (1) es válido para a.e. $x\in C_n\cap(q,q+1/n),$ cada juego $S\cap C_n\cap (q,q+1/n)$ es un conjunto nulo. Así que $$S=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcup_{q\in\mathbb Q} S\cap C_n\cap (q,q+1/n)$$ es un conjunto nulo.
