Existe una doble cobertura ramificada desde el 2-toro hasta la 2-esfera, $T^2 \rightarrow S^2$ cuyo grupo de transformación de cobertura está generado por el mapa $x \mapsto -x$ (Tenga en cuenta que $T^2$ es un grupo abeliano).
He oído que hay una cobertura triplemente ramificada desde el 3-toro hasta la 3-esfera. Entonces, ¿cuál sería el grupo de transformación de cobertura de este caso?
Probablemente sea trivial para los topólogos, pero ¿alguien podría ayudarme?
Existe un algoritmo, debido a Montesinos, para convertir un diagrama de cirugía de un 3-manifold $M$ en una descripción de $M$ como un triplete (irregular; como se ha comentado anteriormente, no existe una cobertura cíclica ramificada regular $T^3 \to S^3$ ) cubierta de $S^3$ . Se describe muy bien en Rolfsen, Knots and Links, capítulo 10.G. Hay que empezar con una descripción de la cirugía en la que todos los encuadres son $\pm 1$ .
Para el 3-toro, tal descripción se encuentra fácilmente. $T^3$ es una cirugía en los anillos borromeo, con encuadres 0 en cada componente. Añade un $+1$ círculo meridiano enmarcado a cada componente de los anillos borromeo, cambiando el encuadre en ese componente a $1$ . La imagen de abajo muestra lo que quiero decir. Si sigues la descripción del libro de Rolfsen, tendrás la cubierta ramificada. Sin embargo, no he intentado dibujarlo.
En primer lugar, creo que la cobertura $T^2\to S^2$ tiene grupo de cubierta $Z/2Z\oplus Z/2Z$ generado por $(x,y)\to (-x,y)$ y $(x,y)\to (x,-y)$ .
Entonces, para el caso tridimensional, se considera la acción de $$Z/2Z\oplus Z/2Z\oplus Z/2Z$$ en $T^3$ donde los 3 generadores envían $$(x,y,z)$$ respectivamente a $(-x,y,z)$ o $(x,-y,z)$ o $(x,y,-z)$ . El cociente por esta acción debe ser la 3ª esfera, por analogía con el caso bidimensional.
Su acción es libre, por lo que no se obtiene una cubierta ramificada. Y no hay ninguna cubierta no trivial no ramificada de $S^2$ ya que está simplemente conectado. En cambio, el cociente de $T^2$ por este grupo es otra copia de $T^2$ . Todo esto se mantiene igualmente si se sustituye $2$ por $3$ .
Parece que su grupo de barajas para $T^2$ induce una cobertura cuádruple y que su grupo de cubierta para $T^3$ induce una cobertura de 8 veces. Es dudoso que el cociente sea una esfera.
@AchimKrause La acción no es libre, aunque el cociente ciertamente no es una esfera: es un cuadrado (cubo, etc.)
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En lo que has oído, ¿la cobertura era de Galois (= regular)? Si es así, yo empezaría por intentar construir una representación de $\mathbb Z/3$ en $\mathbb Z^3$ cuyo tensor por $\mathbb Q$ o $\mathbb Z/p$ . $p\ne3$ no tiene vectores invariantes.
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Bueno, ver arxiv.org/pdf/1212.6282.pdf por ejemplo.
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Bueno, ver arxiv.org/pdf/1212.6282.pdf por ejemplo. En la introducción del artículo, se dice que el 3-toro no es una cubierta ramificada de 2 veces de la 3-esfera. ¿Me equivoco? @Anton Petrunin, ¿Podría explicar o dar alguna referencia de la doble cubierta?
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@AlexDegtyarev Eso no es posible. Toda representación de $\mathbb{Z}/3$ en $\mathbb{Q}$ es una suma directa de la rep trivial y $\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix} \right)$ . Así que cualquier representación dimensional impar de $\mathbb{Z}/3$ definido sobre $\mathbb{Q}$ tiene un vector invariante.
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El 3-toro no puede ser una cubierta doble ramificada porque el producto de copa triple en $H^1$ sería entonces cero.
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@DavidSpeyer: Eso pensé :) Así que esto responde a la pregunta original: no hay una triple cobertura regular, así que no hay duda sobre la traducción de la cubierta :)