Un obligado en los coeficientes de Fourier de una $\alpha$-función de Lipschitz

Question

Me pide mostrar que si $0 < \alpha < 1$, y si $f \in \Lambda^\alpha(\mathbb{T})$, entonces tenemos para $k\neq 0$, $$|\widehat{f}(k)| \leq \pi^\alpha \frac{\|f\|_{\Lambda^1}}{k^\alpha}$$

He aplicado algunas de las propiedades de las desigualdades y las integrales, pero debe de haber conseguido un poco llevar porque mi consolidados finales terminó siendo demasiado grande como se puede ver a continuación.

Actualización: estoy cada vez más cerca. Yo no sé donde el factor de $k^\alpha$.

Se ha informado de que este teorema puede ser útil:

Teorema (Fejér): Si $f\in L_p(\mathbb T^d)$,$\|\sigma_n (f) - f\|_p \to 0$. (Aquí, $\sigma_n(f) = \frac1{n}\sum\limits_{j=0}^{n-1} D_j$).

Intento #3:

$$ \begin{align*} |\widehat{f}(k)| &= \left|\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{ikt}\mathrm dt\right|\\ &\leq \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(t)|\cdot|e^{ikt}|\mathrm dt\\ &= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(t)|\mathrm dt\\ &= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(t+\pi) + f(t) - f(t+\pi)|\mathrm dt\\ &\leq \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(t + \pi)| + |f(t +\pi) - f(t)|\mathrm dt\\ &= \frac{\pi^\alpha}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{|f(t + \pi)|}{\pi^\alpha} + \frac{|f(t +\pi) - f(t)|}{\pi^\alpha}\mathrm dt\\ &\leq \frac{\pi^\alpha}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(t + \pi)| + \frac{|f(t +\pi) - f(t)|}{\pi^\alpha}\mathrm dt\\ &\leq \frac{\pi^\alpha}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \|f\|_{\Lambda^{\alpha}}\mathrm dt\\ &= \pi^\alpha \|f\|_{\Lambda^\alpha} \end{align*} $$

Answer 1

Para un entero $k\ne0$ $$ c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{-ikt}dt= -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{ik(t-\pi/k)}dt= -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(t+\frac\pi k\right)e^{tic'}dt. $$ Tomando la mitad de la suma de estas expresiones para $c_k$ hemos $$ |c_k|=\frac{1}{4\pi}\left|\int_{0}^{2\pi}\left(f(t)-f\left(t+\frac\pi k\right)\right)e^{-ikt}dt\right|\leq\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(t)-f\left(t+\frac\pi k\right)\right|dt\leq $$ $$ \frac{||f||_{\Lambda^{\alpha}}}{4\pi}\int_0^{2 \pi } \left|\frac{\pi }{k}\right|^{\alpha } \, dt= \frac{\pi^\alpha}{2|k|^\alpha}||f||_{\Lambda^{\alpha}}. $$

Answer 2

Como mencioné en mi comentario, queremos usar la suavidad de $f$ para obtener una descomposición en $\hat{f}$. Para hacer uso de la suavidad de $f$ (que es dado como un límite en $\Delta_s f$), considere la posibilidad de la transformada de Fourier de $\Delta_s f(t)=f(t+s)-f(t)$: $$ \hat{f}(k)(e^{2\pi iks}-1)=\int_{\mathbb{T}}(f(t+s)-f(t))\;e^{-2\pi tic'}\;\mathrm{d}t\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, tenemos $$ \begin{align} |\hat{f}(k)||e^{2\pi iks}-1| &\le\int_{\mathbb{T}}|f(t+s)-f(t)|\;\mathrm{d}t\\ &\le |s|^\alpha\|f\|_{\Lambda(\alpha)}\tag{2} \end{align} $$ Desde $|e^{2\pi iks}-1|=|2\sin(\pi ks)|\ge|4ks|$$|ks|\le\frac{1}{2}$, obtenemos $$ |\sombrero{f}(k)|\le \frac{|s|^{\alpha-1}}{|4k|}\|f\|_{\Lambda(\alpha)}\etiqueta{3} $$ Si elegimos $s=\frac{1}{2k}$ (de modo que $|ks|\le\frac{1}{2}$), $(3)$ se convierte en $$ |\sombrero{f}(k)|\le \frac{1}{2^{\alpha+1}|k|^\alpha}\|f\|_{\Lambda(\alpha)}\etiqueta{4} $$ Creo que la diferencia en la constante es debido a la utilización de diferentes normalizaciones de la transformada de Fourier. Ya que esta es la tarea, yo te permitirá convertir.

---

Más Motivación: En un comentario, me mencionó que uno dervative de suavidad en la $f$ produce una potencia de $k$ en la descomposición de la $\hat{f}$. Esto se logra generalmente mediante la integración por partes para mostrar que $$ \int_\mathbb{T}f^{\;\prime}(t)\;e^{-2\pi tic'}\;\mathrm{d}t=2\pi ik\int_\mathbb{T}f(t)\;e^{-2\pi tic'}\;\mathrm{d}t\etiqueta{5} $$ Desafortunadamente, no podemos asumir derivados, pero como vemos arriba $$ \int_\mathbb{T}\Delta_sf(t)\;e^{-2\pi tic'}\;\mathrm{d}t=(e^{2\pi iks}-1)\int_\mathbb{T}f(t)\;e^{-2\pi tic'}\;\mathrm{d}t\etiqueta{6} $$ que puede ser utilizado de la misma manera.