Generalización del Teorema de Convergencia Dominada

Question

Wikipedia reclamaciones, si $\sigma$-finito el teorema de convergencia Dominada todavía es cierto cuando pointwise convergencia es reemplazado por la convergencia en medida, ¿alguien sabe donde encontrar una prueba de esto? Muchas gracias!

Declaración del teorema:

Deje $\mu$ $\sigma$- finito, $|f_n|\leq g$ $f_n\rightarrow f$ en la medida, entonces debemos

$\int f_n \rightarrow \int f$ $\int|f_n-f| \rightarrow 0$

Answer 1

Creo que hay un punto de revivir este post porque creo que esto es también una prueba interesante señaló a mí cuando he publicado esta pregunta por Chris Janjigian.

He visto esta pregunta publicado en numerosas ocasiones en este sitio, así que creo que hay un punto de escribir esto.

Consideremos la secuencia de $\int |f_n-f|$. a continuación, considere la siguiente, tome una larga $\int |f_{n_j}-f|$

Para $f_{n_j}$, debe existir un sub-subsequence $f_{n_{j_k}}$ tal que $f_{n_{j_k}}$ converge a $f(x)$ en casi todas partes. (Desde $f_n$, por lo tanto $f_{n_j}$ converge a $f(x)$ en medir)

Debe ser también el caso de $|f_{n_{j_k}}-f| \leq 2g$, podemos ahora aplicar la convergencia dominada para ver que $\int|f_{n_{j_k}}-f| \rightarrow 0$

Lo que hemos demostrado es que, para cada subsequence de $\int |f_n-f|$, tenemos una más larga, que converge a 0. Ahora, usando el lema:

Si para cada subsequence de $x_n$, existe un sub-larga que converge a 0, $x_n$ converge a 0.

Hemos terminado.

La prueba de la última lema se puede encontrar la condición Suficiente para la convergencia real de una secuencia de

Answer 2

Deje $(X,\mathcal B,\mu)$ ser una medida de espacio, $\{f_n\}$ una secuencia de funciones que converge a $f$ en medir, y para casi todas las $x$ y todos los $n$, $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, donde $g$ es integrable. A continuación,$\lVert f_n-f\rVert_{L^1}\to 0$.

Deje $A_k:=\{g\gt 1/k\}$; a continuación,$A:=\bigcup_k A_k =\{g\neq 0\}$$X\setminus A\subset\bigcap_n\{f_n=0\}\cap\{f=0\}$. Tenemos para cada una de las $k$, $$\int_X|f_n(x)-f(x)|d\mu\leqslant 2\int_{X\setminus A_k}|g(x)|\mathrm d\mu(x)+\int_{A_k}|f_n(x)-f(x)|\mathrm d\mu(x).$$ Si $\lVert f_n-f\rVert_{L^1}$ no concurre $0$, podemos encontrar una $\delta>0$ y una larga $\{f_{n'}\}$ tal que $\lVert f_{n'}-f\rVert_{L^1}\geqslant 2\delta$. Reparamos $k$ tal que $2\int_{X\setminus A_k}|g(x)|\mathrm d\mu(x)\leqslant\delta$ ($k$ existe por el teorema de convergencia monótona, ya que $\lim_{k\to\infty}\int_{X\setminus A_k}|g(x)|\mathrm d\mu(x)= \int_{X\setminus A}|g(x)|\mathrm d\mu(x)$ ). Entonces $$\delta\leqslant \int_{A_k}|f_{n'}(x)-f(x)|\mathrm d\mu(x).$$ Ahora, como $A_k$ tiene un número finito de medida, podemos extraer una larga $\{f_{n''}\}$ $\{f_{n'}\}$ que converge en casi todas partes en $A_k$. Aplicando el clásico teorema de convergencia dominada de esta secuencia, se obtiene una contradicción.