Sabemos que las formas clásicas de Maass en GL(3) están representadas, por ejemplo, en el libro de D.Goldfeld. Me pregunto si existen formas automórficas "holomórficas" en GL(3) como análogo del caso GL(2). Si esas formas existen, ¿dónde puedo encontrar los materiales que las expliquen concretamente?
Gracias de antemano.
Como en los comentarios y la respuesta anterior: en resumen, no hay nada comparablemente elemental o accesible para GL(3), como las cosas holomorfas para GL(2).
Incluso la explicación de este hecho aparente no es, y quizás no podría ser, tan inmediata como la exhibición directa de las holomorfías para GL(2): para demostrar la ausencia de las cosas es más difícil que mostrar presencia .
Las formas más "elementales" de GL(3) podrían ser las elevaciones de Gelbart-Jacquet de GL(2), aunque lo que se puede describir fácilmente no son las formas automórficas, sino las funciones L. En cualquier caso, se trata de una descripción "global" que, por tanto, es inevitablemente más complicada.
Una descripción "local" de repns (¿unitaria?) de la GL(3,R) frente a la GL(2,R) es mucho más fácil que las comparaciones globales. GL(2,R) tiene básicamente series discretas holomórficas y series principales, las primeras (globalmente) dan formas automórficas holomórficas, las segundas dan formas de onda. La teoría de repn de GL(3,R) incluye no series discretas (esto no es obvio). Incluye tanto las series principales (irreducibles) como las repns inducido de la serie discreta holomorfa sobre la copia de GL(2) en el(los) subgrupo(s) parabólico(s) de 2,1 bloques o de 1,2 bloques. En las últimas décadas se han distinguido las repns "cohomológicas", aunque son menos fáciles de describir que las series principales o las repns inducidas en general.
En la práctica, ninguno de estos tipos de repn es tan accesible como las cosas holomorfas para GL(2) en el semiplano superior.
El hilo más antiguo en el que holomorfo Las formas automórficas eran el tema exclusivo era las formas modulares de Siegel, de hecho. Para comparar la teoría de repn, esto fue posible porque Sp(n,R) (o "2n"...) hace tienen series discretas holomorfas repns, para todo n. Siegel y H. Braun hicieron no abordar las cosas en esos términos, y los primeros trabajos de Harish-Chandra sobre la teoría del repn parecen haber pasado por alto la aparición implícita de las series discretas holomorfas en la obra de Siegel.
Sp(n,R) (matrices de 2n por 2n) tiene de hecho $n$ diferentes series discretas. Por ejemplo, el caso de 4 por 4 tiene las holomorfas, y lo que se llama las "grandes" series discretas. La teoría de las repns también incluye todas las repns inducidas de las componentes de Levi de las parabólicas. Así, de hecho, la relativa pobreza de las repns unitarias de GL(n,R) les confiere una mayor simplicidad que las de Sp(n,R), a pesar de que la historia no es elemental.
Ciertamente las series discretas holomorfas se encuentran entre las cohomológicas, y creo (Clozel lo confirmó más o menos hace unos años) que al menos caso por caso Vogan y sus estudiantes han demostrado que todo las series discretas son cohomológicas.
También es considerablemente sorprendente que los antiguos resultados (de los años 60) de Matsushima y Murakami sobre qué formas automórficas puede aparece en la cohomología realmente muestra que sólo depende de la arquimédico tipo de representación.
Así que probablemente debamos reconciliarnos con que "cohomológico" sea la generalización "correcta" de "holomórfico".
Puedes ver que no hay análogos holomórficos a las formas de Maass en el libro de Goldfeld porque esas funciones dependen de 5 variables reales: $y_1, y_2, x_1, x_2, x_3$ . Cualquier función de (una o más) variables complejas debe ser una función de un número par de variables reales.
Esto no es más que una versión poco inteligente de la afirmación de David Hansen de que el espacio simétrico no es una variedad compleja.
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El espacio simétrico adjunto a GL(3) no es una variedad compleja, por lo que no existe un análogo estricto de "holomorfo". Tal vez los análogos correctos sean "algebraico" o "cohomológico", que se satisface con (por ejemplo) los ascensos cuadrados simétricos de las formas holomorfas de GL(2). También hay formas no autoduales de este tipo que no son elevaciones.
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Como sabe David, tanto "algebraico" como "cohomológico" se acercan, pero no son lo mismo, que "holomórfico" para GL_2, incluso para los autorrepuestos cuspidales. Las autorrepresentaciones algebraicas para GL_2 incluyen ciertas autorrepresentaciones no holomorfas (las que se adjuntan a las autorrepresentaciones de Galois continuas e incluso irreducibles) y las cohomológicas corresponden a formas de peso k>=2, por lo que no ven el peso 1. "Serie discreta" es otra buena palabra de moda, pero desgraciadamente no creo que GL_3 admita ninguna serie discreta. Así que es muy difícil ver una buena analogía.
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Algunos comentarios sobre las series discretas: Un teorema de Harish-Chandra es que un grupo (lineal conectado de Lie) tiene series discretas si y sólo si el rango del grupo es igual al rango del subgrupo compacto máximo (lo que equivale a la existencia de un subgrupo compacto de Cartan). Comparando los rangos de SL_n y SO(n), se ve que las series discretas sólo existen allí para n=2. Además, no todas las series discretas son holomorfas, y cuando un grupo tiene series discretas holomorfas, todavía puede tener series discretas no holomorfas (como los grupos simplécticos reales).
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Según tengo entendido, la manera "clásica" de generalizar las formas automórficas holomórficas de GL(2) es buscar formas modulares de Siegel en Sp(2n,R), ya que SL(2,R) es isomorfa a Sp(2,R). Y, por supuesto, las formas modulares de Hilbert, que, por si no lo sabes, viven en GL(2,F) donde F es un campo numérico totalmente real.