Sea $F(n;i)$ sea el número de $i$ -bosques de borde en $n$ vértices ( A138464 en la OEIS). Los primeros valores de $F(n;i) \pmod n$ se enumeran a continuación:
$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrrr} & i=0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline n=2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 4 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 5 & 0 & 0 & 5 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$$
Vemos que si $n$ es una primera potencia impar y $i \geq 1$ entonces $n$ divide $F(n;i)$ . Puedo demostrarlo mediante acciones de grupo e inducción.
Pregunta : ¿Existe alguna prueba publicada de este resultado?
(O, alternativamente, una prueba sucinta de este resultado).
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En realidad, sospecho que esto es cierto para todos los impar $n$ (aunque, como sólo necesito el resultado para las potencias primarias Impares, no he investigado el caso más general).