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Una prueba publicada para: el número de etiquetados i -borde ( i1 ) bosques en pk vértices es divisible por pk

Sea F(n;i) sea el número de i -bosques de borde en n vértices ( A138464 en la OEIS). Los primeros valores de F(n;i) \pmod n se enumeran a continuación:

\begin{array}{r|rrrrrrrrrrr} & i=0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline n=2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 4 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 5 & 0 & 0 & 5 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}

Vemos que si n es una primera potencia impar y i \geq 1 entonces n divide F(n;i) . Puedo demostrarlo mediante acciones de grupo e inducción.

Pregunta : ¿Existe alguna prueba publicada de este resultado?

(O, alternativamente, una prueba sucinta de este resultado).

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En realidad, sospecho que esto es cierto para todos los impar n (aunque, como sólo necesito el resultado para las potencias primarias Impares, no he investigado el caso más general).

4voto

Bart Puntos 18

La prueba es ahora el Lemma 2:

A. P. Mani, R. J. Stones, Congruencias para el número ponderado de bosques etiquetados. Integers, 16 (2016): A17.

que puede obtenerse gratuitamente en http://www.integers-ejcnt.org/vol16.html

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