Una prueba publicada para: el número de etiquetados $i$ -borde ( $i \geq 1$ ) bosques en $p^k$ vértices es divisible por $p^k$

Question

Sea $F(n;i)$ sea el número de $i$ -bosques de borde en $n$ vértices ( A138464 en la OEIS). Los primeros valores de $F(n;i) \pmod n$ se enumeran a continuación:

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrrr} & i=0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline n=2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 4 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 5 & 0 & 0 & 5 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$$

Vemos que si $n$ es una primera potencia impar y $i \geq 1$ entonces $n$ divide $F(n;i)$ . Puedo demostrarlo mediante acciones de grupo e inducción.

Pregunta : ¿Existe alguna prueba publicada de este resultado?

(O, alternativamente, una prueba sucinta de este resultado).

Answer 1

La prueba es ahora el Lemma 2:

A. P. Mani, R. J. Stones, Congruencias para el número ponderado de bosques etiquetados. Integers, 16 (2016): A17.

que puede obtenerse gratuitamente en http://www.integers-ejcnt.org/vol16.html