Cómo encontrar $\operatorname{P.V.}\int_0^1 \frac{1}{x (1-x)}\arctan \left(\frac{8 x^2-4 x^3+14 x-8}{2 x^4-3 x^3-11 x^2+16 x+16}\right) \textrm{d}x$ ?

Question

El siguiente problema es propuesta por Cornel Valean: $$\operatorname{P.V.} \int_0^1 \frac{1}{x (1-x)}\arctan \left(\frac{8 x^2-4 x^3+14 x-8}{2 x^4-3 x^3-11 x^2+16 x+16}\right) \textrm{d}x=\log \left(\frac{5}{4}\right) \arctan\left(\frac{1}{2}\right).$$

La pregunta es cómo podemos demostrar esta igualdad sin utilizar el resultado principal en este documento y sin el uso de números complejos?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

Desde $$T(x)=\dfrac{-4x^3 +8x^2+14x-8}{2x^4-3x^3-11x^2+16x+16} =\dfrac{R(x)-S(x)}{1+R(x)S(x)},$$ donde $$R(x)=\dfrac2{x^2-x-4},\quad S(x)=\dfrac{4x}{2x^2-x-4},\quad x\in[0,1],\tag1$$ (señalado por Sophie ), entonces $$\arctan T(x) = \arctan R(x) - \arctan S(x),$$ (véase también Parcela WA )

$$I=\int\limits_0^1\arctan T(x)\; \dfrac{\text dx}{x(1-x)} =\int\limits_0^1\arctan T(x)\;\left(\dfrac1x+\dfrac1{1-x}\right)\,\text dx, $$$$ I=\int\limits_0^1\big(2\arctan R(x)-\arctan S(x)-\arctan S(1-x)\big)\; \dfrac{\text dx}{x},\tag2$$ donde $$S(1-x)=\dfrac{4-4x}{2x^2-3x-3}.\tag{1a}$$ Esta transformación hace que la integral sea convergente, y la integración numérica da $$I\approx 0.10345,99740\,30782\,04062\,03377\,83301\,52783\,80081\,8.$$ El resultado obtenido coincide exactamente con el valor OP.

Sin embargo, no se obtiene un resultado analítico.

Además, podemos descomponer los arctangentes de $\;R(x),S(x),S(1-x)\;$ a los términos elementales.

Suponiendo que $$R(x) = \dfrac{(a+2cx)+(b-2cx)}{1-(a+2cx)(b-2cx)},$$ y teniendo en cuenta los coeficientes de proporcionalidad, se puede obtener $$ \begin{cases} a+b=8c^2\\ 2c(b-a)=4c^2\\ ab-1=16c^2\\ c>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=4c^2-c\\ b=4c^2+c\\ 16c^4-17c^2-1=0\\ c>0 \end{cases} $$$$ c=\sqrt{\dfrac{\sqrt{353}+17}{32}}\approx1.05753\,68526,\tag3 $$$$ a=4c^2-c,\quad b=4c^2+c,$$ $$\arctan R(x)=\arctan(a+2cx)+\arctan(b-2cx),$$ $$\arctan R(x)=\arctan(4c^2+c(2x-1))+\arctan(4c^2-c(2x-1)).\tag4$$

Del mismo modo, suponiendo que $$S(x) = \dfrac{-4x}{-2x^2+x+4} = \dfrac{(gx+d)+(hx-d)}{1-(gx+d)(hx-d)},$$ se puede conseguir $$ \begin{cases} g+h=-(1+d^2)\\ 4d(h-g)=1+d^2\\ 2gh=1+d^2\\ d>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} (2g+1)+(2h+1)=-2d^2\\ (2g+1)(2h+1)=1\\ 2d((2h+1)-(2g+1))=1+d^2\\ d>0, \end{cases} $$$$ \begin{cases} (2g+1),(2h+1)=-d^2\mp\sqrt{d^4-1}\\ 4d\sqrt{d^4-1}=1+d^2\\ d>0, \end{cases} \begin{cases} 16d^4-17d^2-1=0\\ g,h=\dfrac{-(1+d^2)\mp\sqrt{d^4-1}}2\\ d>0, \end{cases} $$$$ g,h=\dfrac{1+d^2}{-(1+d^2)\pm\sqrt{d^4-1}} =\dfrac{4d}{-4d\pm1}, $$$$ d=\sqrt{\dfrac{\sqrt{353}+17}{32}}=c,\quad g = -\dfrac{4c}{4c-1},\quad h = -\dfrac{4c}{4c+1}, $$$$ \arctan S(x) = \arctan(gx+d)+\arctan(hx-d) $$$$ \arctan S(x) = \arctan\left(c-\dfrac{4cx}{4c-1}\right)-\arctan\left(c+\dfrac{4cx}{4c+1} \right)\tag5 $$$$ \arctan S(1-x) = \arctan\left(c-1+\dfrac{4cx-1}{4c-1}\right)-\arctan\left(c+1-\dfrac{4cx-1}{4c+1} \right)\tag5 $$

Pero este trabajo no está terminado.