Determinar :

Question

Cuál es el límite de lo siguiente: $$ \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ frac {1 \ cdot 1! +2 \ cdot 2! + \ cdots + n \ cdot n!} {(n + 1)!} \ right] ^ { (n + 1)!} $$ Creo que está claro que el numerador se acerca al infinito más rápido que el denominador, por lo que el resultado debería ser $+\infty$ .

Answer 1

[Nota] : Observe que $n\cdot n! = (n+1)!-n!$ , $\forall n\in\mathbb{N}$ siga adelante e intente demostrarlo mediante inducción. De ello se deduce que : \begin{align*} \lim _{n \to \infty} \left[\displaystyle\frac{1 \cdot 1 !+2 \cdot 2 !+\ldots+n \cdot n !}{(n+1) !}\right]^{(n+1)!}&=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!}\right]^{(n+1)!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{(n+1)!}\right)^{(n+1)!}\\ &=\boxed{\frac{1}{e}} \end{align*}

Answer 2

Tienes PS PS PS